5. a) Provar que as funções s e n   t e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0

b) Provar também que s e n   t e cos ⁡ t são linearmente independentes.

c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0

d) Achar todas as soluções da equação y ' ' + y = t .

Passo 1

c) bem... aqui já temos umas colas, né...

já sabemos que s e n   t e cos ⁡ t estão no núcleo do operador L:

L = D 2 + 1

(olhando a cara do operador já dava pra concluir isso, né?)

Passo 2

Então a solução geral vai ser:

g t = α cos ⁡ t + β   s e n   t

Onde α e β são números reais.

Resposta

g t = α cos ⁡ t + β   s e n   t

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