Enunciado
Cálculo - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 5b
5. a) Provar que as funções e são ambas soluções de
b) Provar também que e são linearmente independentes.
c) Achar a solução geral de
d) Achar todas as soluções da equação
Passo 1
b) Pra provar isso vamos ter que lembrar do wronskiano... que é calcular o determinante:
Vamos chamar aqui:
E se o wronskiano for diferente de zero, então são linearmente independentes.
Passo 2
Vamos ao trabalho, então:
Calculando as derivadas:
Passo 3
E calculando o wronskiano:
Que é diferente de zero, então são linearmente independentes.
Passo 4
Um passo extra que vale ressaltar é lembrar que:
Então na nossa questão o wronskiano fica, pra qualquer ..
Resposta
são linearmente independentes.
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1. Escrever as equações diferenciais homogêneas determinadas pelos operadores seguintes:a) D ; b) D 2 ; c) D n ; d) D + 1 ;e) D 2 - 3 D + 1 ; f) 3 D 2 - 2 D ; g) D 2 + ω 2 ; h) D - a ; i) D - 1 D + 1
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2. Quais os operadores que definem as equações diferenciais seguintes?a) f ' ' = 0 b) 3 f ' ' + 2 f ' + f = 0 c) f n + f n - 1 + … + f ' + f = 0 d) f ' ' = - f e) f ' ' + f = 0
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