5. a) Provar que as funções e são ambas soluções de
b) Provar também que e são linearmente independentes.
c) Achar a solução geral de
d) Achar todas as soluções da equação
Passo 1
b) Pra provar isso vamos ter que lembrar do wronskiano... que é calcular o determinante:
Vamos chamar aqui:
E se o wronskiano for diferente de zero, então são linearmente independentes.
Passo 2
Vamos ao trabalho, então:
Calculando as derivadas:
Passo 3
E calculando o wronskiano:
Que é diferente de zero, então são linearmente independentes.
Passo 4
Um passo extra que vale ressaltar é lembrar que:
Então na nossa questão o wronskiano fica, pra qualquer ..
Resposta
são linearmente independentes.