5. a) Provar que as funções s e n   t e cos ⁡ t são ambas soluções de y ' ' + y = 0

b) Provar também que s e n   t e cos ⁡ t são linearmente independentes.

c) Achar a solução geral de y ' ' + y = 0

d) Achar todas as soluções da equação y ' ' + y = t .

Passo 1

b) Pra provar isso vamos ter que lembrar do wronskiano... que é calcular o determinante:

W f 1 , f 2 = f 1 f 2 f 1 ' f 2 '

Vamos chamar aqui:

f 1 = s e n   t

f 2 = cos ⁡ t

E se o wronskiano for diferente de zero, então são linearmente independentes.

Passo 2

Vamos ao trabalho, então:

Calculando as derivadas:

f 1 ' = cos ⁡ t

f 2 ' = - s e n   t

Passo 3

E calculando o wronskiano:

W = s e n   t cos ⁡ t cos ⁡ t - s e n   t

W = - s e n 2 t - cos 2 ⁡ t

Que é diferente de zero, então são linearmente independentes.

Passo 4

Um passo extra que vale ressaltar é lembrar que:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Então na nossa questão o wronskiano fica, pra qualquer t ..

W = - 1

Resposta

são linearmente independentes.

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