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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 45

Prove a parte (f) do Teorema 1.4.1.

Passo 1

Belezinha galera, o item (f) do Teorema 1.4.1 diz que A (B - C) = A B - A C e para mostrar que isso é verdadeiro, devemos mostrar que A ( B - C ) tem o mesmo tamanho de A B - A C e que as entradas correspondentes são iguais.

Passo 2

Para formar A ( B - C ) , as matrizes B e C devem ter o mesmo tamanho, digamos, m xx n , e então a matriz A deve ter m colunas, de modo que seu tamanho é da forma r xx m . Isso faz de A (B - C) uma matriz r xx n . Segue que A B - A C também é uma matriz r xx n e, consequentemente, A ( B - C ) e A B - A C têm o mesmo tamanho.

Passo 3

Suponha que A = [[[a_i j]]] , B = [ [[b_i j]] ] e C = [[[c_i j]]] . E a gente tá afim de mostrar que as entradas correspondentes de A ( B - C ) e de A B - A C são as mesmas, isto é, que

[A ( B - C )]_i j = [[[A,B,-,A,C]]]_i j

Para todos os valores de i e j . Pela definição de produto matricial, temos que

[[[A,B,-,A,C]]]_i j = underset(A B)(underset(⏝)([[[a_i j]]] [[[b_i j]]])) - underset(A C)(underset(⏝)([[[a_i j]]] [[[c_i j]]])) =>

=> [[[A,B,-,A,C]]]_i j = ( ( a_1 j b_1 j + a_2 j b_2 j + cdots + a_m j b_m j ) - ( a_1 j c_1 j + a_2 j c_2 j + cdots + a_m j c_m j ) ) =>

Agora parar [A ( B - C )]_i j

[A ( B - C )]_i j = a_i 1 (b_1 j - c_1 j) + a_i 2 (b_2 j - c_2 j) + cdots + a_i m ( b_m j - c_m j ) =>

=> [A ( B - C )]_i j = ( ( a_1 j b_1 j + a_2 j b_2 j + cdots + a_m j b_m j ) - ( a_1 j c_1 j + a_2 j c_2 j + cdots + a_m j c_m j ) )

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A (B - C) = A B - A C

Resposta

A B - A C = ( ( a_1 j b_1 j + a_2 j b_2 j + cdots + a_m j b_m j ) - ( a_1 j c_1 j + a_2 j c_2 j + cdots + a_m j c_m j ) )

A (B - C) = ( ( a_1 j b_1 j + a_2 j b_2 j + cdots + a_m j b_m j ) - ( a_1 j c_1 j + a_2 j c_2 j + cdots + a_m j c_m j ) )

A (B - C) = A B - A C

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