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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 41.Problemas - Ex. 4b

Ainda com a rotação dos eixos dada pela matriz ortogonal α m acima, quais são, nas novas coordenadas x ' , y ' , z ' , as equações dos seguintes planos?

b )   2 x - 2 y + z = 3

Passo 1

Falaa, beleza?? A nossa ideia aqui é usar a matriz α m para achar o valor de um vetor qualquer ( x , y , z ) nas novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) e substituir cada valor (x, y e z) na equação da reta.

Passo 2

α m a → b   ∙ v a = v b

Ou seja, vamos usar a matriz α m que irá transformar um vetor em ( x , y , z ) para ( x ' , y ' , z ' )

2 3 - 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 - 2 3 x y z = x ' y ' z '

Daqui:

2 x 3 - 2 y 3 + z 3 = x ' x 3 + 2 y 3 + 2 z 3 = y ' 2 x 3 + y 3 - 2 z 3 = z '

Então:

x = 2 x ' + y ' + 2 z ' 3   ,   y = - 2 x ' + 2 y ' + z ' 3 ,   z = x ' + 2 y ' - 2 z ' 3

Passo 3

Substituindo esses valores na equação:

2 x - 2 y + z = 3

2 2 x ' + y ' + 2 z ' 3 - 2 - 2 x ' + 2 y ' + z ' 3 + x ' + 2 y ' - 2 z ' 3 = 3

x ' ( 4 + 4 + 1 ) 3 + y ' ( 2 - 4 + 2 ) 3 + z ' ( 4 - 2 - 2 ) 3 = 3

9 x ' = 3   → x ' = 1 3

Resposta

x ' = 1 3

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