Prove a parte (a) do Teorema . [Sugestão: uma reta no plano tem uma equação da forma , com e não ambos zeros. Use o método do Exemplo para mostrar que a imagem dessa reta pela multiplicação pela matriz invertível

tem a equação , com

e

Em seguida, mostre que e não são ambos nulos para concluir que a imagem é uma reta.]

Vamos precisar de uma sacada pra nos ajudar, fica assim:

Sendo um ponto da reta e a imagem desse ponto quando multiplicarmos pela nossa matriz , temos o seguinte.

Agora vamos fazer o caminho inverso e encontrarmos através de , fica assim.

Organizando fica assim

Não podemos esquecer que o determinante da nossa matriz.

Agora vamos substituir o que encontramos na nossa equação da reta , assim nós vamos encontrar:

Vamos multiplicar tudo pelo nosso determinante aí temos:

Agora vamos fazer os produtos e deixar tudo em função de e , assim temos:

Para facilitar nossa vida vamos chamar de , de e de , assim nossa equação fica:

Agora vamos analisar os termos da nossa equação:

Se temos que , assim:

O que faz:

Isso nos diz que:

Por fim significa que:

Assim conseguimos provar o Teorema !

Até a próxima! =D