Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os pares de números reais da forma ( x ,   y ) , em que x   ≥   0 , com as operações padrão de R 2 .

Passo 1

Vamos lá sendo u = u 1 + u 2 e v = ( v 1 ,   v 2 ) .

Axioma 1: se u e v são objetos de V então a soma u + v deve ser objeto de V , isso nós chamamos que V é fechado para a soma e provamos isso na letra passada.

Axioma 2: Comutatividade.

Axioma 3: Associatividade

Axioma 4: Soma com vetor nulo deve ser o próprio vetor.

Axioma 5: u + - u = 0

Maaas repare que - u = ( - u 1 , - u 2 ) e isso não satisfaz x ≥ 0 . Então - u não pertence a V.

Daí já podemos assumir que não é espaço vetorial, mas vamos continuar com os outros axiomas.

Axioma 6: Aqui vamos ter outro problema. Se pegarmos um escalar k que seja negativo (já que tem que ser um escalar qualquer), nós ficaremos com k ⋅ u 1 , u 2 = k u 1 , k u 2 e isso nos dá k u 1 < 0 . Isso não satisfaz x ≥ 0 . Então esse axioma também não foi satisfeito.

Axioma 7:

k   ⋅ u + v = k ⋅ u + k ⋅ v

Sendo k = 2

2 ⋅ u 1 + v 1 ,   u 2 + v 2 = ( 2 u 1 + 2 v 1 ,   2 u 2 + 2 v 2 )

2 ⋅ u 1 ,   u 2 + 2 ⋅ v 1 ,   v 2 = ( 2 u 1 + 2 v 1 ,   2 u 2 + 2 v 2 )

Logo k   ⋅ u + v = k ⋅ u + k ⋅ v .

Axioma 8:

u   ⋅ k + m = k ⋅ u + m ⋅ u

Sendo k = 2 , m = 3 .

u 1 ,   u 2 ⋅ 2 + 3 = 5 u 1 ,   5 u 2

2 ⋅ u 1 ,   u 2 + 3 ⋅ u 1 ,   u 2 = 2 u 1 + 3 u 1 ,   2 u 2 + 3 u 2 = 5 u 1 ,   5 u 2

Logo   u   ⋅ k + m = k ⋅ u + m ⋅ u .

Axioma 9:

u   ⋅ k ⋅ m = k ⋅ u ⋅ m

Sendo k = 2 , m = 3 .

u 1 ,   u 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 2 u 1 ,   2 u 2 ⋅ 3 = 6 u 1 ,   6 u 2

u 1 ,   u 2 ⋅ 3 ⋅ 2 = 3 u 1 ,   3 u 2 ⋅ 2 = 6 u 1 ,   6 u 2

logo   u   ⋅ k ⋅ m = k ⋅ u ⋅ m .

Axioma 10:

1 ⋅ u = u

1 ⋅ u 1 ,   u 2 = u 1 ,   u 2

Logo   1 ⋅ u = u

Como os axiomas 5 e 6 não foram provados, V não é espaço vetorial.

Ufa, finalmente terminamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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