Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os pares de números reais da forma , em que , com as operações padrão de .

Vamos lá sendo e .

Axioma 1: se e são objetos de então a soma deve ser objeto de , isso nós chamamos que é fechado para a soma e provamos isso na letra passada.

Axioma 2: Comutatividade.

Axioma 3: Associatividade

Axioma 4: Soma com vetor nulo deve ser o próprio vetor.

Axioma 5:

Maaas repare que e isso não satisfaz . Então não pertence a V.

Daí já podemos assumir que não é espaço vetorial, mas vamos continuar com os outros axiomas.

Axioma 6: Aqui vamos ter outro problema. Se pegarmos um escalar que seja negativo (já que tem que ser um escalar qualquer), nós ficaremos com e isso nos dá . Isso não satisfaz . Então esse axioma também não foi satisfeito.

Axioma 7:

Sendo

Logo .

Axioma 8:

Sendo , .

Logo .

Axioma 9:

Sendo , .

logo.

Axioma 10:

Logo

Como os axiomas 5 e 6 não foram provados, não é espaço vetorial.

Ufa, finalmente terminamos!