Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:

(a) Se , então ;

(b) Se , onde é uma matriz diagonal, então ;

(c) Se D é uma matriz diagonal, então , para toda matriz , ;

(d) Se , então ;

(e) Se e são tais que e , então , é tal que .

(b) Para resolver essa questão, vamos calcular , lembrando que e :

Na penúltima igualdade, usamos o fato da matriz ser diagonal, de modo que porque, quando transpomos uma matriz, os elementos da sua diagonal permanecem no mesmo local. Assim, como a matriz só tem elementos diferentes de zero na diagonal, a sua transposta é igual a ela mesma, entendeu? Afirmação verdadeira.

(c) Vamos verificar essa afirmação usando um contra-exemplo. Ou seja, vamos usar um exemplo específico para mostrar que a afirmação é falsa. Para isso, vamos usar as matrizes:

Temos

Por outro lado,

Não é difícil ver que , e esse é só um exemplo. Assim, a afirmação é falsa.

(d) Nessa afirmação, vamos seguir o mesmo raciocínio de (b):

Então, a afirmação é verdadeira.

(e) Aqui, vamos calcular usando as propriedades de matriz transposta e e :

Então, como vocês podem ver, a afirmação é falsa.