Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 23
Dado um polinômio
Verifique que a matriz
é tal que . Esta matriz é chamada matriz companheira do polinômio . (Sugestão: verifique para e depois supondo que seja verdade para matrizes mostre que é verdade para matrizes expandindo em cofatores em relação a primeira coluna)
Passo 1
E aí, gente! Questão complicada, né? Não precisa se preocupar, vamos resolver essa juntos. Vem comigo!
Vamos começar com , como o livro sugeriu. Nesse caso, temos
Assim,
e
Belezinha, provamos para . Agora, continua aí que vamos continuar supondo que seja verdade para matrizes .
Passo 2
Bom, primeiro temos que notar que as matrizes são:
Pode não parecer que ela é muito diferente da matriz , mas essa última teria uma coluna e uma linha a mais:
Olha só como vai ficar a matriz :
Passo 3
Ok, a nossa hipótese é que a primeira matriz satisfaz . Então, vamos calcular o determinante de usando os cofatores da primeira coluna. Vemos que vários termos são iguais a zero e ficam somente dois cofatores:
Vejam que o primeiro determinante é quase apenas com no lugar de e, assim sucessivamente, até chegar a no lugar de . Então, esse determinante será . Além disso, o segundo determinante é porque a matriz é triangular inferior, então só a multiplicação da diagonal principal contribui para o determinante.
Então,
Resumindo o que fizemos. Basicamente, fizemos uma prova por indução. Provamos que é válido para e, assumindo que é válido para , provamos que também é válido para . Isso quer dizer que a relação é válida para qualquer . Espero que tenham gostado dessa resolução e nos vemos na próxima.
Resposta
Veja a resolução acima