Uma matriz A é chamada nilpotente se A k = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz

É nilpotente.

Passo 1

A matriz A dada pode ser manipulada de forma a deslocarmos a diagonal composta de números 1 até que ela deixe de existir. Por exemplo, considerando uma matriz 4x4:

A =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

Passo 2

Multiplicando A por ela mesma, ou fazendo A 2 :

A 2 =   0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

A 2 =   0 0 0 0 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 0 0

Passo 3

Realizando a multiplicação de A 2 por A , ou seja, calculando A 3 :

A 2 ∙ A = A 3 =   0 0 0 0 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0

A 3 =   0 0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 0 0

Por fim,

A 4 =   0 0 0 0 0 0 1 0 0   0 0 0 0 0 0 0 ∙ 0 1 0 0 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0

Resposta

Generalizando, infere-se que A k = 0, para algum inteiro positivo k, não importa o valor de n.

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