Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 29
Uma matriz A é chamada nilpotente se = 0, para algum inteiro positivo k. Verifique que a matriz
É nilpotente.
Passo 1
A matriz A dada pode ser manipulada de forma a deslocarmos a diagonal composta de números 1 até que ela deixe de existir. Por exemplo, considerando uma matriz 4x4:
Passo 2
Multiplicando A por ela mesma, ou fazendo :
Passo 3
Realizando a multiplicação de por , ou seja, calculando :
Por fim,
=
Resposta
Generalizando, infere-se que = 0, para algum inteiro positivo k, não importa o valor de n.
Exercícios de Livros Relacionados
Se AB = BA e p é um inteiro positivo, mostre que ( A B ) p = A p B p .
Sejam A, B e C matrizes nxn. ( A + B ) 2 = A 2 + 2 A B + B 2 ? E se AB = BA? Justifique
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , ..., E n = 0 0 ⋮ 0 1 matrizes nx1.Mostre que se A =a 11 a 12 a 21 a 22 ⋯ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮⋯ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n é uma matriz mxn, então A E j é igual à coluna
b) Determine todas as matrizes A, 2x2, que comutam com toda matriz B, 2x2, ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
b) Sejam B e C matrizes mxn, tais BX = CX, para todo X, nx1. Mostre que B = C.