Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:
b) Se A é uma matriz nxn e
,
Em que , são escalares, então AB = BA.
Passo 1
Pelo enunciado da questão, nos foi dado que:
A é uma matriz nxn, ou seja,
E
Assim, podemos definir AB como:
Passo 2
Tendo em vista que pode ser escrito como
Temos que
Assim:
Ou, de forma mais simples,
Passo 3
Já o produto BA pode ser descrito como:
Que é o mesmo que
Assim,
AB = BA
Resposta
Demonstração ao longo dos passos da questão.