Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:

b) Se A é uma matriz nxn e

B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ,

Em que a 0 , … ,   a k são escalares, então AB = BA.

Passo 1

Pelo enunciado da questão, nos foi dado que:

A é uma matriz nxn, ou seja,

A = ( a i j ) n x n

E

B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k = ∑ k = 0 n a k A k

Assim, podemos definir AB como:

A B = ( a i j ) n x n ∑ k = 0 n a k A k

Passo 2

Tendo em vista que A k pode ser escrito como

A k = ( a i j n x n ) k

Temos que

( a i j ) n x n ( a i j n x n ) k = ( a i j n x n ) k + 1

Assim:

A B = ∑ k = 0 n a k ( a i j n x n ) k + 1

Ou, de forma mais simples,

A B = ( a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ) A

Passo 3

Já o produto BA pode ser descrito como:

B A = ∑ k = 0 n a k A k ( a i j ) n x n

Que é o mesmo que

B A = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k A

Assim,

AB = BA

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da questão.

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