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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 28b

Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativos. Mostre que:

b) Se A é uma matriz nxn e

B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ,

Em que a 0 , … ,   a k são escalares, então AB = BA.

Passo 1

Pelo enunciado da questão, nos foi dado que:

A é uma matriz nxn, ou seja,

A = ( a i j ) n x n

E

B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k = ∑ k = 0 n a k A k

Assim, podemos definir AB como:

A B = ( a i j ) n x n ∑ k = 0 n a k A k

Passo 2

Tendo em vista que A k pode ser escrito como

A k = ( a i j n x n ) k

Temos que

( a i j ) n x n ( a i j n x n ) k = ( a i j n x n ) k + 1

Assim:

A B = ∑ k = 0 n a k ( a i j n x n ) k + 1

Ou, de forma mais simples,

A B = ( a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k ) A

Passo 3

Já o produto BA pode ser descrito como:

B A = ∑ k = 0 n a k A k ( a i j ) n x n

Que é o mesmo que

B A = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k A

Assim,

AB = BA

Resposta

Demonstração ao longo dos passos da questão.

Exercícios de Livros Relacionados

b) Se AB = 0, então BA = 0? Justifique.
Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮
Determine todas as matrizes A, 2x2, diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2x2, ou sejam tais que AB = BA, para toda matriz B, 2x2.
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n =I n A = A para qualquer A, nxn.
Sejam A e B matrizes mxp e pxn, respectivamente.b) Mostre que a i-ésima coluna do produto AB é igual ao produto A i B , em que A i = a i 1 … a i p é a i-ésima linha de A, ou seja, se A =A 1 A 2 ⋮ A m