Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 96

A reta tangencia uma parábola de foco e eixo . Obtenha uma equação da diretriz, o parâmetro, o vértice e o ponto de tangência.

Passo 1

Duas informações muito importantes têm que ser lembradas aqui, que a reta diretriz é perpendicular ao eixo da parábola e que com certeza a reta tangencia a parábola em hahaha.

A equação da diretriz será uma reta paralela a portanto será algo na cara de:

E a reta da diretriz se encontra com em:

Portanto esse ponto de encontro da diretriz com o eixo da parábola estão em

Passo 2

A distância entre o foco e a diretriz equivale a duas vezes o parâmetro e que terá equação de:

E a distância entre o vértice (que também está no eixo ) e o foco será o parâmetro:

Assim como a distância entre o vértice e a diretriz será igual ao parâmetro:

Da primeira com a segunda equação nós temos que:

Portanto:

Passo 3

Como temos um ponto de tangência em e a distância desse ponto ao foco é igual a distância de a reta da diretriz ou seja:

Pois a distância de um ponto para uma reta é

E se fizermos ser zero nós encontraremos:

Portanto a equação da diretriz será:

O vértice estará em

E o parâmetro será:

Poderíamos arbitrar qualquer valor de , que uma família de soluções viria. Para isso tudo deve estar bem amarrado uma com a outra. Nós somente não podemos utilizar equações como para dizer nada, pois a parábola está com o vértice fora da origem e focos fora dos eixos coordenados.