Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 95

Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola P , de vértice ( 0,0 ) e o foco em um dos eixos coordenados, supondo que t seja tangente a P

( a ) t : y + 2 x + 1 = 0

( b ) t : y = 3 x

( c ) t : x - 4 = 0

Passo 1

Uma equação com vértice na origem terá uma equação da forma de:

y 2 = 4 p x

x 2 = 4 p y

Arrumando essa equação da tangente nós teremos:

y = - 2 x - 1

E a equação da tangente na parábola é igual a:

k y = 2 p x + 2 p h

y = 2 p k x + 2 p h k

Comparando as duas nós teremos:

2 p k = - 2

2 p k   h = - 1 → - 2 h = - 1 → h = 1 2

Aplicando na equação da parábola nós teremos:

k 2 = 4 p h

k 2 = 2 p

E como 2 p k = - 2 , logo:

k 2 k = - 2 → k = - 2

Então o valor de p será:

k 2 = 2 p

4 2 = p → p = 2

Nos dando uma equação igual a:

y 2 = 8 x

Passo 2

Já para a equação da tangente para a parábola x 2 = 4 p y pelo exercício 92 será:

h x = 2 p y + 2 p k

x = 2 p h y + 2 p k h

Arrumando a equação da tangente nós teremos:

y + 2 x + 1 = 0 → x = - y 2 - 1 2

Comparando as duas equações nós teremos:

2 p h = - 1 2

2 p h   k = - 1 2

Então:

- 1 2   k = - 1 2 → k = 1

Jogando esse valor na equação da parábola nós teremos para T = ( h , k ) :

x 2 = 4 p y

h 2 = 4 p k

h 2 = 4 p → p = h 2 4

Portanto:

2 h 2 4 h = - 1 2

1 2 h = - 1 2 → h = - 1

Então o valor de p será:

2 p = - 1 2 ⋅ - 1 → p = 1 4

Portanto a equação será:

x 2 = 4 4 y → x 2 = y

Passo 3

Na letra b simplesmente temos uma equação que passa pelo vértice, então nunca que ela será tangente, ela sempre será uma secante. E na letra c temos uma reta x = 4 e essa reta também não será uma tangente, ou ela será uma reta exterior ou uma secante. As formas podem ser vistas abaixo.

Na forma x 2 = 4 p x vemos que a reta até corta o gráfico em apenas um ponto mas ela não será tangente.

Resposta

a )   y 2 = 8 x   o u   x 2 = y  

b )   N ã o   h á   u m a   p a r á b o l a .

c )   N ã o   h á   u m a   p a r á b o l a .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições:39. eixo paralelo a y=0 e passando por A(-2,4), B(-3,2) e C(-6,0).
Nos problemas de 41 a 44, obter equações paramétricas da parábola de equação dada.42. x 2 = 2 y
40. Dada a parábola de equação y = - x 2 + 4 x + 5 , determinar:a) o vértice;b) as interseções com os eixos coordenados;c) o gráfico;d) o foco;e) uma equação da diretriz.
Nos problemas de 37 a 39, encontrar a equação explícita da parábola que satisfaça as condições:37. eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passando pelos pontos A(-2,0), B(0,4) e C(4,0).
40. Dada a parábola de equação y = - x 2 + 4 x + 5 , determinar:a) o vértice;b) as interseções com os eixos coordenados;c) o gráfico;d) o foco;e) uma equação da diretriz.