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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 9

Quais dos seguintes são combinações lineares de

A = [[[4,0],[-,2,-,2]]] , B = [[[1,-,1],[2,3]]] , C = [[[0,2],[1,4]]]

  1. [[[6,-,8],[-,1,-,8]]]
  2. [[[0,0],[0,0]]]
  3. [[[6,0],[3,8]]]
  4. [[[-,1,5],[7,1]]]

Passo 1

Show de bola então pessoal, pra começar, sabemos que para uma matriz M ser combinação linear de outras três matrizes A , B e C , então deve existir 3 escalares reais a e b e c , tal que

M = a A + b B + c C

Se for possível encontrar esses valores, então nossa matriz é combinação linear das outras. Então bora tentar com cada uma das matrizes, partiu!!!

Passo 2

Na letra (a), temos a matriz [[[6,-,8],[-,1,-,8]]] , logo

[[[6,-,8],[-,1,-,8]]] = a [[[4,0],[-,2,-,2]]] + b [[[1,-,1],[2,3]]] + c [[[0,2],[1,4]]] => {[[4,a,+,b,+,0,c,=,6],[0,a,-,b,+,2,c,=,-,8],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,-,1],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,-,8]])

Na forma matricial, temos

{[[4,a,+,b,+,0,c,=,6],[0,a,-,b,+,2,c,=,-,8],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,-,1],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,-,8]]) = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[-,2,2,1],[-,2,3,4]],[[6],[-,8],[-,1],[-,8]]] => [[],[],[L_3,=,L_3,+,(1)/(2),L_1],[L_4,=,L_4,+,(1)/(2),L_1]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,(5)/(2),1],[0,(7)/(2),4]],[[6],[-,8],[2],[-,5]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,+,(5)/(2),L_2],[L_4,=,L_4,+,(7)/(2),L_2]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,0,6],[0,0,11]],[[6],[-,8],[-,18],[-,33]]] =>

Logo, da terceira e quarta linha, obtemos que 6 c = - 18 e 11 c = - 33 , então c = - 3 . E na segunda linha temos

- b + 2 c = - 8 => - b + 2 (- 3) = - 8 => b = 2

E por fim na primeira linha tiramos que a

4 a + b = 6 => 4 a + 2 = 6 => a = 1

Portanto a matriz é uma combinação linear.

Passo 3

Na letra (b), temos a matriz [[[0,0],[0,0]]] , logo

[[[0,0],[0,0]]] = a [[[4,0],[-,2,-,2]]] + b [[[1,-,1],[2,3]]] + c [[[0,2],[1,4]]] => {[[4,a,+,b,+,0,c,=,0],[0,a,-,b,+,2,c,=,0],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,0],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,0]])

Na forma matricial, temos

{[[4,a,+,b,+,0,c,=,6],[0,a,-,b,+,2,c,=,-,8],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,-,1],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,-,8]]) = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[-,2,2,1],[-,2,3,4]],[[0],[0],[0],[0]]] => [[],[],[L_3,=,L_3,+,(1)/(2),L_1],[L_4,=,L_4,+,(1)/(2),L_1]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,(5)/(2),1],[0,(7)/(2),4]],[[0],[0],[0],[0]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,+,(5)/(2),L_2],[L_4,=,L_4,+,(7)/(2),L_2]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,0,6],[0,0,11]],[[0],[0],[0],[0]]] =>

Logo, da terceira e quarta linha, obtemos que 6 c = 0 e 11 c = 0 , então c = 0 . E na segunda linha temos

- b + 2 c = 0 => - b + 2 (0) = 0 => b = 0

E por fim na primeira linha tiramos que a

4 a + b = 0 => 4 a + 0 = 0 => a = 0

Portanto a matriz é uma combinação linear.

Passo 4

Na letra (c), temos a matriz [[[6,0],[3,8]]] , logo

[[[6,0],[3,8]]] = a [[[4,0],[-,2,-,2]]] + b [[[1,-,1],[2,3]]] + c [[[0,2],[1,4]]] => {[[4,a,+,b,+,0,c,=,6],[0,a,-,b,+,2,c,=,0],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,3],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,8]])

Na forma matricial, temos

{[[4,a,+,b,+,0,c,=,6],[0,a,-,b,+,2,c,=,0],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,3],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,8]]) = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[-,2,2,1],[-,2,3,4]],[[6],[0],[3],[8]]] => [[],[],[L_3,=,L_3,+,(1)/(2),L_1],[L_4,=,L_4,+,(1)/(2),L_1]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,(5)/(2),1],[0,(7)/(2),4]],[[6],[0],[6],[11]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,+,(5)/(2),L_2],[L_4,=,L_4,+,(7)/(2),L_2]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,0,6],[0,0,11]],[[6],[0],[6],[11]]] =>

Logo, da terceira e quarta linha, obtemos que 6 c = 6 e 11 c = 11 , então c = 1 . E na segunda linha temos

- b + 2 c = 0 => - b + 2 (1) = 0 => b = 2

E por fim na primeira linha tiramos que a

4 a + b = 6 => 4 a + 2 = 6 => a = 1

Portanto a matriz é uma combinação linear.

Passo 5

E por último temos a matriz [[[-,1,5],[7,1]]] , logo

[[[-,1,5],[7,1]]] = a [[[4,0],[-,2,-,2]]] + b [[[1,-,1],[2,3]]] + c [[[0,2],[1,4]]] => {[[4,a,+,b,+,0,c,=,-,1],[0,a,-,b,+,2,c,=,5],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,7],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,1]])

Na forma matricial, temos

{[[4,a,+,b,+,0,c,=,-,1],[0,a,-,b,+,2,c,=,5],[-,2,a,+,2,b,+,c,=,7],[-,2,a,+,3,b,+,4,c,=,1]]) = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[-,2,2,1],[-,2,3,4]],[[-,1],[5],[7],[1]]] => [[],[],[L_3,=,L_3,+,(1)/(2),L_1],[L_4,=,L_4,+,(1)/(2),L_1]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,(5)/(2),1],[0,(7)/(2),4]],[[6],[0],[(13)/(2)],[(1)/(2)]]] =>

=> [[],[],[L_3,=,L_3,+,(5)/(2),L_2],[L_4,=,L_4,+,(7)/(2),L_2]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,0,6],[0,0,11]],[[6],[0],[19],[18]]] => [[],[],[],[L_4,=,L_4,-,(11)/(6),L_3]] = [[[4,1,0],[0,-,1,2],[0,0,6],[0,0,0]],[[6],[0],[19],[-,(101)/(6)]]]

Logo, 0 a + 0 b + 0 c = - 101 // 6 , ou seja, ela tá falando pra gente que - (101)/(6) = 0 , o que não faz sentido algum, logo nossa matriz não é combinação linear.

Resposta

  1. É combinação.
  2. É combinação.
  3. É combinação.
  4. Não é combinação.
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2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes n x n simétricas.
Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.b) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 com a0+a1+a2+a3=0.
Determine se os polinômios dados geram P_2 .p_1 = 1 - x + 2 x^2 , p_2 = 3 + x , p_3 = 5 - x + 4 x^2 , p_4 = - 2 - 2 x + 2 x^2
Determine se o espaço solução do sistema A x = 0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações p