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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 3b

  1. Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.

b) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 com a0+a1+a2+a3=0.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois polinômios quaisquer desse conjunto:

p a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ,     a 0 + a 1 + a 2 + a 3 = 0

e

p b x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 ,     b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0

Quando somamos eles:

p a x + p b x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3

Podemos agrupar os termos semelhantes:

p a x + p b x = a 0 + b 0 + a 1 + b 1 x + a 2 + b 2 x 2 + a 3 + b 3 x 3

Vamos conferir se a soma dos coeficientes é igual a zero:

a 0 + b 0 + a 1 + b 1 + a 2 + b 2 + a 3 + b 3 =

Podemos reescrever assim:

a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + b 0 + b 1 + b 2 + b 3 =

E sabemos que essas duas somas são iguais a zero, ou seja:

a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0 + 0

a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0

Continuamos com um polinômio na forma dada pelo enunciado, ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando um vetor qualquer:

p a x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos:

k ⋅ p a x = k ⋅ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3

k ⋅ p a x = k a 0 + k a 1 x + k a 2 x 2 + k a 3 x 3

Vamos conferir a soma dos coeficientes:

k a 0 + k a 1 + k a 2 + k a 3 =

Tirando o k em evidencia temos:

k ⋅ a 0 + a 1 + a 2 + a 3 =

E sabemos que essa soma é igual a zero, ou seja:

k ⋅ 0 = 0

Dessa forma o polinomio continua da maniera que queriamos, ou seja, a segunda condição também é válida. Dessa maneira concluímos que esses polinômios são um subespaço vetorial de P 3 .

Resposta

É um subespaço vetorial de P 3 .

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5 Quais dos seguintes são subespaços de R?.Todas as sequencias v em R da forma v=(v, 1, v, 1, v, 1, ...).
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de R3.Todos os vetores da forma (a, b, 0).
2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n com as quais Ax=0 só tem a solução trivial.