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Exercícios de Subespaços Vetoriais - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Considere o subconjunto de M 2 × 2 definido por:

Z = A ∈ M 2 × 2 A ∙ 1 - 2 = 0 0 }

Z é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ?

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Questão 2

Mostre que o conjunto abaixo é subespaço vetorial de P 2 , com as operações usuais de P 2 :

S = a + b x + c x 2 ∈ P 2 a + 3 b - 2 c = 0 }

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Questão 3

Determine se é subespaço vetorial de R 3 :

a   U = a , b , c ∈ R 3 a , c ∈ R ,   b = a + c + 1 }

b   V = a , b , c ∈ R 3 a , b ∈ R ,   2 a + 3 b = 5 c }

c   K = a , 1,1 ∈ R 3 a ∈ R }

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Questão 4

Mostre que o conjunto:

S = p ∈ P 3 p - 1 = p 1 = 0 }

é um subespaço vetorial de P 3 , com as mesmas operações usuais dele.

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Questão 5

Seja U = 2,1 , - 1 ,   1,0 , - 2 , um subespaço vetorial de R 3 e a x + b y + z = 0 uma equação de U, isto é

U = x , y , z ∈ R 3     a x + b y + z = 0 } .

Então b é igual a:

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Questão 6

Sejam V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ , S um subespaço de V e v , w   ∈ V tais que v - w ∈ S e w ∈ S ⊥ . Pode-se afirmar que:

a )   v , w =   v ;

b )   v = 0 ;

c )   v , w = 0 ;

d )   v , w = w 2 ;

e )   v ∈ S ⊥

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Questão 7

Considere o espaço vetorial R 4 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço de R 4 definido por:

S = 2,1 , - 1,2 , - 1,2 , - 2 , - 1 .

Se v ∈ S e w ∈ S ⊥ são tais que

6 , - 4,2 , 2 = v + w

E se w = ( a , b , c , d ) , então a + b + c + d é igual a:

a ) - 4 ;

b ) - 6 ;

c )   2 ;

d )   8 ;

e ) - 2 .

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Questão 8

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

( I ) para quaisquer v , w ∈ V , vale que:

v + w 2 + v - w 2 = 2 ( v 2 + w 2 )

( I I ) para quaisquer v , w   ∈ V , vale que v   é ortogonal a w se, e somente se, v + w = v - w ;

( I I I ) Se S 1   e   S 2 são subespaços de V tais que S 1 ⊂ S 2 , então S 1 ⊥ ⊂ S 2 ⊥ .

Assinale a alternativa correta:

a )   Apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

b )   todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c )   apenas as afirmações I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

d )   apenas as afirmações I I   e   ( I I ) são necessariamente verdadeiras;

e )   apenas as afirmações I   e   ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

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Questão 9

Se, no espaço vetorial M 2 ( R ) , com o produto interno dado por A , B = t r ( B t A ) , S é o subespaço definido por

S = a b c d ∈ M 2 R : a - b + 3 c + d = 0   e   2 a - b + 2 d = 0

Então S ⊥ é gerado por

a - 1 0 3 1 , 0 1 - 6 0

b 0 1 - 6 0

c   1 0 - 3 1 , 0 1 - 6 0

d 1 0 - 3 1

e 1 0 - 3 1 , 1 0 - 6 0

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Questão 10

Seja S o subespaço de M 2 ( R ) gerado pelas matrizes:

4   3   2   1   e 3   2   1   0  

Suponha que α ,   β ,   γ ,   δ   ∈   R sejam tais que α x   +   β y   +   γ z   +   δ t   =   0 , para qualquer x   y   z   t   ∈   S . Pode-se afirmar que:

( a )   β   +   γ   =   0 ;

( b )   α   +   β   +   γ   +   δ   =   0 ;

( c )   2 α   +   γ   =   0 ;

( d )   β   +   γ   +   δ   =   0 ;

( e )   α   +   β   +   γ   =   0 .

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Questão 11

Dizemos que duas matrizes A ,   B ∈ M 2 × 2 ( R ) comutam se satisfazem A B = B A . Considere o conjunto C ( A ) de todas as matrizes que comutam com A

C A = B ∈ M 2 × 2 R A B = B A }

a   Mostre que C ( A ) é um subespaço vetorial de M 2 × 2 ( R ) .

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Questão 12

Sejam W e A os subconjuntos de M 2 × 2 R dados por W = a b c d : a + d = 0 e A = a b c d : a + d = - 1 .

a Mostre que W é um subespaço vetorial de M 2 × 2 R .

b Mostre que A é um subespaço afim de M 2 × 2 R e determine o subespaço vetorial ao qual ele é paralelo.

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Questão 13

Considere o seguinte subespaço W = 2 , 0,1 , 1 , 1 , - 2,0 , 2 , - 1,1 , - 1 , - 2 do R 4 . Seja v = 4 , 3,2 , k . Determine para que valor(es) de k temos v ∈ W .

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Questão 14

Considere o espaço vetorial P 3 formado pelos polinômios na variável t com grau no máximo 3 .

a O subconjunto de P 3 dado por W = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = 0   e   a 3 - a 2 = 0 é um subespaço vetorial? Justitique.

b Verifique que o conjunto de P 3 dado por A = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 a 1 - a 0 = - 1   e   a 3 - a 2 = 1 é um subespaço afim e determine o subespaço de P 3 ao qual ele é paralelo. Justifique.

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Questão 15

Considere a matriz

A =   2 1 0 - 1

e seja S o subespaço de M 2 ( R ) definido por:

S = { B   ∈   M 2 :     B A = A B } .

Temos que a dimensão de S é igual a:

(a) 2;

(b) 3;

(c) 4;

(d) 1;

(e) 0.

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Questão 16

Considere o espaço vetorial R 3 munido do seu produto interno usual e seja S o subespaço vetorial de R 3 dado por:

S   = { ( x ,   y ,   z )   ∈   R 3 :   x   +   2 y   +   2 z   =   0 }

Se v   ∈   S   e   w   ∈   S ⊥ forem tais que v   +   w   =   ( 1 ,   1 ,   1 ) , então:

  1. w = ( 1 9 , 2 9 , 2 9 )
  2. w = ( - 1,1 , 3 )
  3. w = ( 1,0 , 1 )
  4. w = ( 1 3 , 2 3 , 2 3 )
  5. w = ( 5 9 , 10 9 , 10 9 )

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Questão 17

Assinale abaixo o conjunto que é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão igual a 2:

(a) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x = 1

(b) x ,   y ,   z ∈ R 3 |   x ≥ 0

(c) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y }

(d) { x ,   y ,   z ∈   R 3 |   x = y = z }

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Questão 18

Enuncie que condições um subconjunto W de um espaço vetorial V deve satisfazer para ser subespaço deste. Verifique se U   =   x ,   y ,   z ∈ R 3 ; z = x y   é subespaço de R 3

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Questão 19

Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(b) W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ∈ P 2 R   a 0 a 1 = 0 }   é subespaço de P 2 R com as operações usuais.

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Questão 20

Considere o espaço vetorial M 2 × 2 das matrizes de duas linhas e duas colunas e dois subconjuntos:

U = A ∈ M 2 × 2   D e t A = 0 }

V = a c b d ∈   M 2 × 2   a + c = 0   e   b + d = 0 }

(a) Mostre que U não é subespaço vetorial de M 2 × 2

(b) Mostre que V é subespaço vetorial de M 2 × 2 .

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Questão 21

Sejam a , b   ∈ R considere o subespaço

S   =   [ 1   +   2 x   −   2 x 2   +   x 3 ,   2   +   2 x   +   a x 2   +   3 x 3 ,   − 1   +   6 x   −   2 x 2   +   b x 3 ]

do espaço vetorial   P 3 ( R ) . Se d i m ( S )   =   2 , então a   +   b é igual a:

  1. - 8
  2. 6
  3. 0
  4. 7
  5. - 2

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Questão 22

Sejam α   e   β números reais tal que o vetor α , 1,5 , β   d e   R 4 pertence ao subespaço vetorial gerado pelos vetores 1,0 , 2,1   e   2,1 , - 1,0 . Então α + β   é igual a

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Questão 23

Suponha que S 1   e   S 2 são subespaços vetoriais de um espaço vetorial E e considere as seguintes afirmações:

( I ) S 1 ∪ S 2 é um subespaço vetorial de E se e somente se S 1 ∩ S 2 ≠ { 0 E }

( I I ) pode existir um subespaço vetorial S de E tal que S 1 ∪ S 2 ⊂ S ⊂ S 1 + S 2 , com S 1 ∪ S 2 ≠ S

E S ≠ S 1 + S 2

( I I I ) para todo u ∈ S 1 + S 2 , existem únicos v 1 ∈ S 1   e   v 2 ∈ S 2 tais que u = v 1 + v 2

Então está correto afirmar que:

a )   s o m e n t e   I   é   v e r d a d e i r a

b )   s o m e n t e   I   e   I I   s ã o   v e r d a d e i r a s

c )   s o m e n t e   I I   é   v e r d a d e i r a

d )   a s   t r ê s   a f i r m a l ç õ e s   s ã o   f a l s a s

e )   s o m e n t e   I I I   é   v e r d a d e i r a

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Questão 24

Seja H um subespaço vetorial de R n tal que D i m H = k < n :

  1. Existe uma matriz A ,   n × k , tal que H = I m A
  2. Existe uma matriz A ,   n × k , tal que H = N A

a   Ambas são falsas.

b   Ambas são verdadeiras.

c   A I é verdadeira e I I é falsa.

d   I é falsa e I I é verdadeira.

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Questão 25

Seja P 2 o espaço dos polinômios da forma

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ;  

a 0 ,   a 1 ,   a 2 ∈ R  

Em qual dos casos abaixo o subconjunto H não é subespaço vetorial de P 2 ?

( a ) H = p ∈ P 2 | p 1 = p 2

( b ) H = p ∈ P 2 | p 1 = 0

( c ) H = p ∈ P 2 | p 1 + p 2 = 0

( d ) H = p ∈ P 2 | p 1 ∙ p 2 = 0

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Questão 26

Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a dois e V = p ∈ P 2 p 1 = 0 . Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   O polinômio p x = 2 + x + x 2 pertence a V .

b   V é subespaço vetorial de P 2 e x - 1 , x 2 - 1 é uma base de V .

c   V não é subespaço vetorial de P 2 .

d   V é subespaço vetorial de P 2 e tem dimensão igual a 4 .

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Questão 27

Sejam A e B matrizes reais tais que B é obtida de A por operações elementares de escalonamento em linhas. Considere as seguintes afirmações:

  1. O subespaço gerado pelas linhas de A coincide com o subespaço gerado pelas linhas de B ;
  2. O subespaço gerado pelas colunas de A coincide com o subespaço gerado pelas colunas de B ;
  3. Se a matriz B está escalonada e não possui linhas nulas, então as linhas da matriz A são linearmente independentes.

Assinale a alternativa correta:

  1. apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;
  2. apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;
  3. apenas a afirmação (III) é necessariamente verdadeira;
  4. todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;
  5. apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras.

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Questão 28

Considere os seguintes subconjuntos de R 4 :

L = x , y , z , w x = 1 + w   e   y = 2 z

H = x , y , z , w x = y - z + 4 w

  1. L é um subespaço vetorial de R 4 e dim ⁡ L = 2
  2. H é um subespaço vetorial de R 4 e dim ⁡ H = 3

a   A afirmativa I é falsa e a I I é falsa

b   A afirmativa I é verdadeira e a I I é verdadeira

c   A afirmativa I é falsa e a I I é verdadeira

d   A afirmativa I é verdadeira e a I I é falsa

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Questão 29

Seja um sistema de equações lineares que tem como matriz de coeficientes:

A = 1 2 3 2 4 5 3 5 6

a Determine o posto e a nulidade de A

b É possível que o sistema tenha grau de liberdade maior ou igual a 1 ?

c Determine a matriz de termos independentes do sistema para que seu conjunto solução seja um subespaço de R 3

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Questão 30

Considere as seguintes afirmações:

I   O espaço linha e o espaço coluna de qualquer matriz real A m × n são subespaços, respectivamente, do R n e do R m , e suas dimensões são iguais.

I I W = x , y ∈ R 2 x + 2 y x - y = 0 é subespaço do R 2 .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

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Questão 31

Seja S p 2 o conjunto das matrizes M ∈ M 2 R tais que M T J M = J , onde J = 0 - 1 1 0 . Seja M = a b c d . Considere as seguintes afirmações:

  1. Se M ∈ S p 2 , então a d - b c = 1 .
  2. S p 2 é um subespaço vetorial de M 2 R

a   I e I I são falsas.

b   I é verdadeira, I I é falsa.

c   I e I I são verdadeiras.

( d ) I é falsa, I I é verdadeira.

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Questão 32

Sejam M 2 × 2 o espaço das matrizes 2 × 2 , e H = 2,3 o espaço gerado pelo vetor 2,3 . Considere as afirmativas:

I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A = H , das matrizes cujo núcleo é igual a H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

I I O subconjunto A ∈ M 2 × 2 N u c A ⊇ H , das matrizes cujo núcleo contém H , é um subespaço vetorial de M 2 × 2 .

Pode-se afirmar que:

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é falsa e I I é verdadeira

c   I é verdadeira e I I é falsa

d   I é falsa e I I é falsa

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Questão 33

Assinale o conjunto que NÃO É um subespaço vetorial:

( a ) O conjunto de matrizes reais 2 × 2 cujo elemento da primeira linha e da segunda coluna de A é igual a 1 .

( b ) O espaço gerado pelas colunas de uma matriz real A m × n .

( c ) O conjunto das matrizes 2 × 2 triangulares superiores.

( d ) O conjunto das matrizes X p × 1 tais que A X = 0 , onde A é uma matriz m × p dada.

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Questão 34

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justificando sua resposta.

a) W = p t ∈ P 5 : p 0 = 0 é um subespaço vetorial de P 5 .

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Questão 35

Considere o conjunto de vetores

V = x , y ∈ R 2 y = x 2 ,

com as operações de soma vetorial e multiplicação por escalar dadas por:

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = x 1 + x 2 , x 1 + x 2 2

k x , y = k x , k 2 x 2

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

( a ) V é um espaço vetorial, mas não é um subespaço de R 2 .

( b ) A soma não possui elemento neutro.

( c ) V é um subespaço vetorial de R 2 .

( d ) A soma não é associativa.

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Questão 36

Seja A = v 1 → , v 2 → , v 3 → , v 4 → um subconjunto de V 3 com quatro elementos e assuma que todo v → ∈ V 3 possa ser escrito como combinação linear dos elementos de A. Considere as seguintes afirmações:

I   0 → ∈ A

I I   O conjunto A possui um subconjunto com três elementos que é uma base de V 3 ;

( I I I ) existe um vetor pertencente ao conjunto A que é combinação linear de outros dois vetores pertencentes ao conjunto A

Assinale a alternativa certa

a apenas a afirmação (II) é necessariamente verdadeira;

b apenas as afirmações (II) e (III) são necessariamente verdadeiras;

c apenas as afirmações (I) e (II) são necessariamente verdadeiras;

d apenas a afirmação (I) é necessariamente verdadeira;

e apenas as afirmações (I) e (III) são necessariamente verdadeiras;

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Questão 37

Qual dos subconjuntos abaixo é subespaço vetorial de R 2 ?

a   x , y ∈ R 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0

b   x , y ∈ R 2 , x = y + 1

c   x , y ∈ R 2 , x = - y

d   x , y ∈ R 2 , x 2 + y 2 = 4

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Questão 38

O que NÃO É verdadeiro para subespaços W de um espaço vetorial V ?

( a ) Qualquer combinação linear de n vetores de W também é um vetor de W .

( b ) Se S = v 1 , … , v n é uma base de V , então S sempre conterá uma base para W .

( c ) dim ⁡ V ≥ dim ⁡ W

( d ) O espaço gerado por W é igual a W .

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Questão 39

Considere o sistema linear A x = b . Suponha que o sistema:

1 não tenha solução se b = b 1 ;

2 não tenha solução se b = b 2 ;

3 tenha solução se b = b 3 .

Pode-se afirmar que o sistema:

a não tem solução se b = b 2 + b 3

b tem solução se b = b 1 + b 2

c não tem solução se b = b 1 + b 2

d tem solução se b = b 2 + b 3

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Questão 40

Assinale abaixo o subconjunto do R 2 que é um subespaço vetorial:

a   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas positivas

b   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são iguais

c O conjunto dos pontos cujas coordenadas são ambas não-nulas

d   O conjunto dos pontos cujas coordenadas são distintas

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Questão 41

Considere o seguinte subespaço do espaço vetorial das matrizes 2 × 3 :

W = X   ∈ M 2 × 3 R :     A X = X B

Onde A =   0 1 1 0 e B =   0 1 0 1 0 0 0 0 1 . Então podemos afirmar que a dimensão de W é igual a:

a   5

( b ) 6

c 3

d 4

e 0

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Questão 42

Considere os seguintes casos

I E = P 4 R   (o espaço dos polinômios de grau ≤ 4   ) e V = P ∈ E   : P 2 = 0   e   P ' 2 = 2

( I I ) E = M 2 ( R ) e V é o conjunto das matrizes de E tais que a soma das entradas da diagonal principal é zero

( I I ) E = R 7 e V é o conjunto dos elementos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ) de E satisfazendo a equação

x 2 - x 3 + x 4 = x 1 x 7 - x 6 + x 3 = x 1 x 2 x 3 = x 5                              

É corretor afirmar que V é um subespaço vetorial de E

a nos casos I I   e   ( I I I ) , somente

b no caso I somente

c em nenhum dos casos

d no caso (III ) , somente

e no caso I I somente

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Questão 43

Considere os subespaços de P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R

V = t + 2 t 2 + 2 t 3 , 1 + t , 3 + t + 5 t 2 + 2 t 3

E

W = a + a + 3 b t 2 + 2 b t 3 ∈ P 3 R ; a , b ∈ R

Então, a dimensão de V + W é igual a:

a )   3

b )   1

c )   5

d )   2

e )   4

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Questão 44

No espaço vetorial E das funções contínuas em [ 0,1 ] , seja

S 1 = f ∈ E   : f 2 = f 5 + 1

S 2 = f ∈ E   : f - 3 + f 4 = 0

S 3 = f ∈ E   : f 2 = f - 2 + f ( 1 )

Então são subespaços vetoriais de E:

a )   S 1 , S 2   e   S 3

b )   S 2   e   S 3   s o m e n t e

c )   S 3   s o m e n t e

d )   S 1   e   S 2   s o m e n t e

e )   S 2   s o m e n t e

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Questão 45

Considere os seguintes subespaços do espaço das matrizes reais 3 × 3 : S = A ∈ M 3 R : A t = A e N = a i j ∈ M 3 R :   φ A = 0 , onde φ A = 0 é a soma de todas as entradas da matriz A. Então podemos afirmar que a dimensão de N ∩ S é igual a

a )   4

b )   5

c )   9

d )   6

e )   7

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Questão 46

Em P 9 ( R ) (trata-se do espaço de todos os polinômios de grau ≤ 9 ) sejam V um subespaço vetorial de dimensão 5 e W um subespaço contendo 5 vetores linearmente independentes. Considere as seguintes afirmações:

I   O   s u b e s p a ç o   V ∩ W   é   d i f e r e n t e   d e   { 0 → }

I I   S e   V + W   t e m   d i m e n s ã o   8   e n t ã o d i m d i m   V ∩ W ≤ 7    

I I I   S e   V + W   t e m   d i m e n s ã o   8   e n t ã o d i m d i m   V ∩ W ≥ 2    

a )   I   e   I I   s o m e n t e

b )   I   e   I I I   s o m e n t e

c )   I , I I , ( I I I

d )   I I   s o m e n t e

e )   I I   e   I I I   s o m e n t e

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Questão 47

QI-40%) Verifique se o conjunto V   =   { ( x , y ) l   x ,   y   e   R ,   c o m   y   <   0 }   é um espaço vetorial com as operações de adição e a multiplicação por um escalar assim definidas:

( x 1 , y 1 )   +   ( x 2 , y 2 )   =   ( x 1   +   x 2 , y 1 | y 2 | )

α ⊙ ( x 1 , Y 1 )   =   ( a x 1 ,   - - Y 1 α )  

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Questão 48

Considere os subespaços S 1 e S 2 de M 3 ( R ) definidos por

S 1 = { A - A t   : A ∈ M 3 R } e S 2 = { A ∈ M 3 R   : t r A = 0 }

em que A t denota a transposta da matriz A e t r ( A ) denota a soma dos elementos na diagonal principal de A . Temos que a dimensão de S 1 ∩ S 2 é igual a:

a) 3 ;

b) 4 ;  

c) 2 ;

d) 1 ;

e) 0 .

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Questão 49

Q10. Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ⋅ , ⋅ e sejam S 1 e S 2 subespaços vetoriais de V . Considere as seguintes afirmações:

(i) se S 1 ⊂ S 2 então S 2 ⊥ ⊂ S 1 ⊥ ;

(ii) S 1 ⊥ + S 2 ⊥ ⊂ S 1 ∩ S 2 ⊥ ;

(iii) se w 1 , … ,   w k for um conjunto de geradores para S 1 , então para qualquer v ∈ V valerá que v ∈ S 1 ⊥   se, e somente se, v , w i = 0 , para todo i ∈ 1 , … , k .

Assinale a alternativa correta:

a) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

b) apenas as afirmações (i) e (ii) são necessariamente verdadeiras;

c) apenas as afirmações (i) e (iii) são necessariamente verdadeiras;

d) apenas a formações (iii) é necessariamente verdadeira;

e) apenas as afirmações (ii) e (iii) são necessariamente verdadeiras.

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Questão 50

Considere o subespaço vetorial W de M 2 ( R ) definido por

W = 1 1 - 1 1 ,   1 3 3 1 ,   1 2 1 1 ,   2 1 - 4 2

e seja B uma base de W . Pode-se afirmar que:

a) B tem três elementos e B ∪ 0 1 2 1 é uma base de M 2 ( R ) ;

b) B tem três elementos e B ∪ 0 0 1 0 é uma base de M 2 ( R ) ;

c) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 2 1 , 0 0 1 0   é uma base de M 2 ( R ) ;

d) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 0 0 , 0 0 1 0   é uma base de M 2 ( R ) ;

e) B tem dois elementos e B ∪ 0 1 0 0 , 0 0 1 1   é uma base de M 2 ( R ) ;

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Questão 51

Seja V = M 2 R e

A =   2 - 1 0 1 ,   B = 0 3 - 1 2   ,   e   C = 4 - 5 1 0

elementos de V. Seja S = [ A , B , C ] o subespaço vetorial de V gerado por A ,   B   e   C . Se r   ∈ R tal que a matriz X =   r - r 1 1   pertence ao subespaço S, então podemos afirmar que

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Questão 52

Qual subconjunto abaixo de R 5 NÃO É um subespaço vetorial de R 5 ?

( a ) O conjunto dos vetores com as 3 primeiras componentes nulas.

( b ) O conjunto dos vetores com a primeira e a última componentes nulas.

( c ) O conjunto dos vetores com pelo menos uma componente nula.

( d ) O conjunto dos vetores com todas as componentes nulas.

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Questão 53

Considere as seguintes afirmações:

I   R = x , y , z ∈ R 3   x = y 2 = z }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I   S = x , y , z ∈ R 3   x , y , z   ∈ Q }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

I I I   T = x , y , z ∈ R 3   x = y + 1 = z + 2 }   é   u m   s u b e s p a ç o   v e t o r i a l   d e   R 3

Nestas condições podemos afirmar.

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Questão 54

Seja P 2 o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 2 e seja H o subespaço dos polinômios p tais que p 1 = - p 0 = p - 1 . A dimensão de H é:

a   1

b   3

c   0

d   2

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Questão 55

Seja S o subespaço de R 4 definido por:

S   =   [ ( 1,1 , - 1,2 ) , ( - 1,0 , 0 , - 3 ) , ( 2,1 , - 1,1 ) , ( 2,2 , - 2,0 ) ] .

Dados a , b , c , d ∈ R , pode-se afirmar que:

  1. a , b , c , d ∈ S se, e somente se, a + c = 0 ;
  2. a , b , c , d ∈ S ;
  3. a , b , c , d ∈ S se, e somente se, b + c = 0 e 2 a - d = 0 ;
  4. a , b , c , d ∈ S se, e somente se, b + c + d = 0 ;
  5. a , b , c , d ∈ S se, e somente se, b + c = 0 .

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Questão 56

a Verifique se U = a 0 + a 1 x ∈ P 1 R ; a 0 = a 1 é subespaço de P 1 R .

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Questão 57

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

c)   W = { x , y , z ∈ R 3 ; x ≥ 0   e   z ≤ 0 } é um subespaço vetorial do R 3

d) Seja V um espaço vetorial com dim ⁡ V = 7 . Existem U e W subespaços vetoriais de V com dim ⁡ U = 4 , dim ⁡ W = 5 e dim ⁡ ( U ∩ W ) = 0

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Questão 58

Seja A uma matriz 5 × 5 t.q. A 2 = 0 . Considere as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.

I A imagem de A é subespaço do núcleo de A .

I I A dimensão da imagem de A pode ser 3 .

a   I é verdadeira e I I é verdadeira

b I é verdadeira e I I é falsa

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   I é falsa e I I é falsa

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Questão 59

Considere as seguintes afirmações:

I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de 1 , 0,1 , 1 e de 1,1 , 1,1 é um subespaço do R 4 .

I I O núcleo e a imagem de uma matriz real A m × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Questão 60

Seja C um conjunto de vetores do R n . Considere as seguintes afirmativas:

I O conjunto dos subespaços vetoriais de R n que contêm C é não vazio.

I I O espaço gerado por C é o menor subespaço vetorial de R n que contém C .

I I I C é L I se nenhum de seus vetores pertence ao espaço gerado pelos demais.

( a ) I , I I e I I I são verdadeiras

( b ) Apenas I e I I são verdadeiras

( c ) Apenas I e I I I são verdadeiras

( d ) Apenas I I e I I I são verdadeiras

e Apenas I é verdadeira

f Apenas I I é verdadeira

g Apenas I I I é verdadeira

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Questão 61

Considere as seguintes afirmações:

I O núcleo e a imagem de uma matriz real A k × n são subespaços do R n e a soma de suas dimensões é igual a n .

I I O conjunto formado pelas somas de todos os possíveis múltiplos de p x = 2 x 3 + 3 x - 2 e de q x = x 3 + x 2 + x - 1 é um subespaço do espaço de polinômios.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( c ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

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Questão 62

Determine o subespaço gerado pelo conjunto S = {(1,2,0), (0,3,2), (2,1, −2), (3,3, −2)} de

R3

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Questão 63

Seja q ∈ R . Temos que 1,3 , 1 , - 2 pertencerá ao subespaço de R 4 gerado pelos vetores

1,1 , 1 , q ,           1,2 , 3,0         e           ( 1,2 , 4,1 )

se, e somente se, q for igual a:

  1. 4 ;
  2. 2 ;
  3. - 4 ;
  4. 0 ;
  5. - 2 .

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Questão 64

Considere os subespaços de R 4 definidos por:

S 1 = 1,1 , - 1,0 , 0,1 , 0,0 , 1,0 , - 1,1 ,

S 2 = 1,1 , 0,2 , 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,2 .

Assinale a alternativa correspondente a uma base de S 1 ∩ S 2 :

  1. { 0 , - 1,0 , - 2 , - 1,0 , 1,0 , 1,1 , - 1,0 } ;
  2. { 0 , - 1,0 , - 2 , - 1,0 , 1,0 } ;
  3. { 1 , - 1 , - 1 , - 2 } ;
  4. { - 1 , - 1,1 , - 2 } ;
  5. { 0 , - 1,0 , - 2 , 2,1 , 0,2 } .

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Questão 65

Seja P 3 R = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3   : a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ∈ R . Considere o subconjunto:

V = p x   ∈ P 3 R   : p 1 = 0   e   p ' 0 = 0

Podemos afirmar que:

a )   V não é subespaço vetorial de P 3 ( R )

b ) V é subespaço vetorial de P 3 R ,   e   1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 , 1 - t 3 é base de V

c )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

d )   V é subespaço vetorial de P 3 ( R ) , e 1 - t + t 2 - t 3 , 1 - t 3 , 1 - t 2   é   b a s e   d e   V

e ) V é subespaço vetorial de P 3 R ,   e   1 - t 2 , 2 - t 2 - t 3 é base de V

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Questão 66

Seja S o subespaço de R 4 gerado pelos vetores ( 1,0 , 1,1 ) e ( 1,1 , 2,1 ) . Dado a ∈ R , temos que o vetor ( - 1,2 , a , - 1 ) pertence a S se, e somente se:

Escolha uma opção:

  1. a = 1
  2. a = - 1
  3. a = - 2
  4. a = 5
  5. a = 3

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Questão 67

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Prove as verdadeiras e apresente um contraexemplo para as falsas.

(a) Seja W um subespaço de V , contendo v . Se 2 v ∈ W ⊥ , então v é o vetor nulo.

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Questão 68

No espaço vetorial R 4 consideramos os seguintes subespaços vetoriais

U = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |   x 1 - x 3 = 0 ,   x 3 + x 4 = 0

W = x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ R 4   |     x 2 - x 3 = 0 ,   x 1 - x 4 = 0  

Sejam u = a , b , c , d ∈ U   e   w   ∈ W   t a l   q u e

u + w = ( 1,1 , - 1 , - 1 )

Então a + b + c + d   é   i g u a l   a

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Questão 69

Seja V um espaço vetorial munido de um produto interno ∙ , ∙ e considere as seguintes afirmações:

I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v + w = v + w se, e somente se, v e w são linearmente dependentes;

I I   para quaisquer v , w ∈ V , vale que v , w = v w se, e somente se, v = 0 ou existe λ ≥ 0 tal que w = λ v ;

I I I   para quaisquer v , w ∈ V e qualquer subespaço S   de V , vale que se v , w = 0 e w ∈ S ⊥ , então v ∈ S

Assinale a alternativa correta:

a )   apenas as afirmações ( I I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras;

b ) todas as afirmações são necessariamente verdadeiras;

c ) nenhuma das afirmações é necessariamente verdadeira;

d ) apenas a afirmação ( I ) é necessariamente verdadeira;

e )   apenas as afirmações ( I ) e ( I I I ) são necessariamente verdadeiras.

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Questão 70

Seja r uma reta em R 2 que não passa pela origem.

  1. r pode ser a imagem de alguma transformação linear T : R 2 → R 2
  2. r pode ser o núcleo de alguma transformação linear T : R 2 → R 2

( a ) I é verdadeira, mas I I é falsa

( b ) I e I I são verdadeiras

( c ) I e I I são falsas

( d ) I é falsa, mas I I é verdadeira

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Subespaços VetoriaisLista de Introdução às EDO'sLista de ElipsesLista de Parábolas Lista de Ângulos entre RetasLista de Combinação LinearLista de Posições Relativas de RetasLista de Reflexão OrtogonalLista de Expressão Analítica de uma TLLista de Complemento Ortogonal e Soma Direta

Principais Conceitos de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Equação da Esfera