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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 1b

Sejam A = ([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) , B = ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) , C = ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]) , a = 4 e b = - 7 , mostre que (A B) C = A ( B C )

Passo 1

Esse problema aborda, de maneira não generalizada, a demonstração de algumas propriedades algébricas. Nesse caso, vamos mostrar que (A B) C = A ( B C ) . Para isso, vamos resolver os dois lados da equação e comparar para ver se são, de fato, iguais.

Assim, montemos o primeiro lado:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

E o segundo:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

Passo 2

Resolvendo o primeiro lado, temos:

(([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]])) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[(2 xx 8),+,(- 1 xx 0),+,(3 xx 4),(2 xx ( - 3 )),+,(- 1 xx 1),+,(3 xx ( - 7 )),(2 xx ( - 5),+,(- 1 xx 2),+,(3 xx 6)],[(0 xx 8),+,(4 xx 0),+,(5 xx 4),(0 xx ( - 3 )),+,(4 xx 1),+,(5 xx ( - 7 )),(0 xx ( - 5 )),+,(4 xx 2),+,(5 xx 6)],[(- 2 xx 8),+,(1 xx 0),+,(4 xx 4),(- 2 xx ( - 3 )),+,(1 xx 1),+,(4 xx ( - 7 )),(- 2 xx ( - 5),+,(1 xx 2),+,(4 xx 6)]])

([[16,+,0,+,12,-,6,-,1,-,21,-,10,-,2,+,18],[0,+,0,+,20,0,+,4,-,35,0,+,8,+,30],[-,16,+,0,+,16,6,+,1,-,28,10,+,2,+,24]])

([[28,-,28,6],[20,-,31,38],[0,-,21,36]]) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]])

([[-,10,-,222,26],[83,-,67,278],[87,33,240]])

Passo 3

Resolvendo o segundo lado da equação:

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) (([[8,-,3,-,5],[0,1,2],[4,-,7,6]]) ([[0,-,2,3],[1,7,4],[3,5,9]]))

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[0,+,(- 3),-,15,-,16,-,21,-,25,24,-,12,-,45],[0,+,1,+,6,0,+,7,+,10,0,+,4,+,18],[0,-,7,+,18,-,8,-,49,+,30,12,-,28,+,54]])

([[2,-,1,3],[0,4,5],[-,2,1,4]]) ([[-,18,-,62,-,33],[7,17,22],[11,-,27,38]])

([[-,36,-,7,+,33,-,124,-,17,-,81,-,66,-,22,+,114],[0,+,28,+,55,0,+,68,-,135,0,+,88,+,190],[36,+,7,+,33,124,+,17,-,108,66,+,22,+,152]])

([[-,10,-,222,26],[83,-,67,278],[87,33,240]])

Resposta

Ambos os lados são iguais. Logo, está demonstrado que (A B) C = A ( B C )

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