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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 15

Determine se o espaço solução do sistema A x = 0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha uma equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.

  1. A = - 1 1 1 3 - 1 0 2 - 4 - 5
  2. A = - 1 - 2 3 - 3 6 9 - 2 4 - 6
  3. A = 1 2 3 2 5 3 1 0 8
  4. A = 1 2 - 6 1 4 4 3 10 6
  5. A = 1 - 1 1 2 - 1 4 3 1 11
  6. A = 1 - 3 1 2 - 6 2 3 - 9 3

Passo 1

Belezinha então galera, para encontrarmos a solução do sistema A x = 0 , para qualquer uma dessas matrizes, a maneira mais maneira de fazer isso é escalonando o sistema, então bora fazer isso!!!

Passo 2

Na letra (a), temos a matriz

A = - 1 1 1 3 - 1 0 2 - 4 - 5

Então A x = 0

- 1 1 1 3 - 1 0 2 - 4 - 5 0 0 0

Escalonando

- 1 1 1 3 - 1 0 2 - 4 - 5 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 + 3 L 1 L 3 = L 3 + 2 L 1 = - 1 1 1 0 2 3 0 - 2 - 3 0 0 0 ⇒     L 3 = L 3 + L 2 = - 1 1 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0

E a solução vai ser

- 1 1 1 0 2 3 0 0 0 0 0 0 ⇒ - x + y + z = 0   2 y + 3 z = 0   ⇒ - x - 3 2 z + z = 0 y = - 3 2 z   ⇒ x = - 1 2 z y = - 3 2 z  

Portanto temos uma variável livre z e vamos chamar ela do parâmetro t , então nossa solução será uma reta dada por r = - 1 2 t ,   - 3 2 t ,   t = - 1 2 ,   - 3 2 ,   1 t .

Passo 3

Na letra (b), temos a matriz

A = - 1 - 2 3 - 3 6 9 - 2 4 - 6

Então A x = 0

- 1 - 2 3 - 3 6 9 - 2 4 - 6 0 0 0

Escalonando

- 1 - 2 3 - 3 6 9 - 2 4 - 6 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 3 L 1 L 3 = L 3 - 2 L 1 = - 1 - 2 3 0 12 0 0 8 - 12 0 0 0

⇒     L 3 = L 3 - 2 3 L 2 = - 1 - 2 3 0 12 0 0 0 - 12 0 0 0

Portanto, temos todas as linhas linearmente independentes, logo a única solução desse sistema é a origem ( 0 ,   0 ,   0 ) .

.

Passo 4

Já na letra (c), temos a matriz

A = 1 2 3 2 5 3 1 0 8

Então A x = 0

1 2 3 2 5 3 1 0 8 0 0 0

Escalonando

1 2 3 2 5 3 1 0 8 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 - L 1 = 1 2 3 0 1 - 3 0 - 2 5 0 0 0 ⇒     L 3 = L 3 + 2 L 2 = 1 2 3 0 1 - 3 0 0 - 1 0 0 0

Portanto, temos todas as linhas linearmente independentes, logo a única solução desse sistema é a origem ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 5

E na letra (d), temos a matriz

A = 1 2 - 6 1 4 4 3 10 6

Então A x = 0

1 2 - 6 1 4 4 3 10 6 0 0 0

Escalonando

1 2 - 6 1 4 4 3 10 6 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - L 1 L 3 = L 3 - 3 L 1 = 1 2 - 6 0 2 10 0 4 24 0 0 0 ⇒     L 3 = L 3 - 2 L 2 = 1 2 - 6 0 2 10 0 0 4 0 0 0

Portanto mais uma vez, temos todas as linhas linearmente independentes, logo a única solução desse sistema é a origem ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Passo 6

E na letra (e), temos a matriz

A = 1 - 1 1 2 - 1 4 3 1 11

Então A x = 0

1 - 1 1 2 - 1 4 3 1 11 0 0 0

Escalonando

1 - 1 1 2 - 1 4 3 1 11 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 - 3 L 1 = 1 - 1 1 0 1 2 0 4 8 0 0 0 ⇒     L 3 = L 3 - 4 L 2 = 1 - 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0

E a solução vai ser

1 - 1 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 ⇒ - x + y + z = 0   y + 2 z = 0   ⇒ - x - 2 z + z = 0 y = - 2 z   ⇒ x = - z y = - 2 z  

Portanto temos uma variável livre z e vamos chamar ela de parâmetro t , então nossa solução será uma reta dada por r = - t ,   - 2 t ,   t = - 1 ,   - 2 ,   1 t

Passo 7

E por último na letra (f), temos a matriz

A = 1 - 3 1 2 - 6 2 3 - 9 3

Então A x = 0

1 - 3 1 2 - 6 2 3 - 9 3 0 0 0

Escalonando

1 - 3 1 2 - 6 2 3 - 9 3 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 L 1 L 3 = L 3 - 3 L 1 = 1 - 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

E a solução vai ser

1 - 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⇒ x - 3 y + z = 0       ⇒ x = 3 y - z    

Portanto temos duas variável livre z e y , e vamos chamar elas de parâmetro t e s respectivamente, então nossa solução será um plano dada por r = 3 s ,   s ,   0 + - t ,   0 ,   t ⇒ 3 ,   1 ,   0 s + - 1 ,   0 ,   1 t

Resposta

  1. r = - 1 2 t ,   - 3 2 t ,   t = - 1 2 ,   - 3 2 ,   1 t .
  2. ( 0 ,   0 ,   0 ) .
  3. ( 0 ,   0 ,   0 ) .
  4. 0 ,   0 ,   0 .
  5. r = - t ,   - 2 t ,   t = - 1 ,   - 2 ,   1 t .
  6. r = 3 s ,   s ,   0 + - t ,   0 ,   t ⇒ 3 ,   1 ,   0 s + - 1 ,   0 ,   1 .
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Expresse os seguintes como combinações lineares de u = ( 2 ,1 ,4 ) , v = ( 1 ,- 1 ,3 ) e w = ( 3 ,2 ,5 ) ? ( - 9 ,- 7 ,- 15 ) ( 6 ,11 ,6 ) 0 ,0 ,0 ( 7 ,8 ,9 )
Em cada parte, expresse o vetor como uma combinação linear de p 1 = 2 + x + 4 x 2 , p 2 = 1 - x + 3 x 2 e p 3 = 3 + 2 x + 5 x 2 ? - 9 - 7 x - 15 x 2 6 + 11 + 6 x 2 0 7 + 8 x + 9 x 2
Quais dos seguintes são combinações lineares de u = ( 0 ,- 2 ,2 ) e v = ( 1 ,3 ,- 1 ) ? ( 2 ,2 ,2 ) ( 3 ,1 ,5 ) 0 ,4 ,5 ( 0 ,0 ,0 )
Em cada parte, determine se os vetores dados geram R 3 . v 1 = 2 ,2 ,2 ,v 2 0 ,0 ,3 ,v 3 ( 0 ,1 ,1 ) . v 1 = 2 ,- 1 ,3 ,v 2 4 ,1 ,2 ,v 3 ( 8 ,- 1 ,8 ) v 1 = 3 ,1 ,4 ,v 2 2 ,- 3 ,5 ,v 3 5 ,- 2 ,9 ,v 4
Seja f = cos 2 ⁡ x e g = sin 2 ⁡ x . Quais dos seguintes estão no espaço gerado por f e g ? cos ⁡ 2 x 3 + x 2 1 sin ⁡ x 0