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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.4 - Ex. 7

Seja λ 0 ⋯ 0 0 1 λ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ 0 0 0 ⋯ 1 λ um bloco de Jordan m   x   m correspondente a λ . Seja N = J - λ I m . Mostre:

a) N m = 0 , a transformação linear nula e para 1 ≤ k < m ,   N k i j = 1                   s e   i - j = k 0     c a s o   c o n t r á r i o

b) J k = ∑ j = 0 k k J λ k - j N j p a r a   0 < k < m . ∑ j = 0 m - 1 k J λ k - j N j     p a r a   k ≥ m .    

c) para todo inteiro k ≥ m ,

T C C =       J = λ k 0 ⋯ 0 0 k λ k - 1 λ k ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ ⋮ λ k 0 k m - 1 λ k - m + 1 k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ k λ k - 1 λ k

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos Seja λ 0 ⋯ 0 0 1 λ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ 0 0 0 ⋯ 1 λ um bloco de Jordan m   x   m correspondente a λ . Seja N = J - λ I m . Mostre:

a) N m = 0 , a transformação linear nula e para 1 ≤ k < m ,   N k i j = 1                   s e   i - j = k 0     c a s o   c o n t r á r i o

b) J k = ∑ j = 0 k k J λ k - j N j p a r a   0 < k < m . ∑ j = 0 m - 1 k J λ k - j N j     p a r a   k ≥ m .    

c) para todo inteiro k ≥ m ,

T C C =       J = λ k 0 ⋯ 0 0 k λ k - 1 λ k ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ ⋮ λ k 0 k m - 1 λ k - m + 1 k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ k λ k - 1 λ k

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

J = λ 0 ⋯ 0 0 1 λ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ 0 0 0 ⋯ 1 λ , com N = J - λ I m

Temos na letra (a) para N m = 0 , com 1 ≤ k < m ,   N k i j = 1                   s e   i - j = k 0     c a s o   c o n t r á r i o

N k i j = i - k ≠ 0

Na letra (b) para,

J k = ∑ j = 0 k k J λ k - j N j p a r a   0 < k < m . ∑ j = 0 m - 1 k J λ k - j N j     p a r a   k ≥ m .    

Temos,

λ ≠ m

Na letra ( c ) para,

T C C =       J = λ k 0 ⋯ 0 0 k λ k - 1 λ k ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ ⋮ λ k 0 k m - 1 λ k - m + 1 k m - 2 λ k - m + 2 ⋯ k λ k - 1 λ k

Ficando,

T C C = 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) i - k ≠ 0

b) λ ≠ m

c) T C C = 1

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Quais das seguintes matrizes estão na forma canônica de Jordan. a ) 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 - 1 b )2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 - 1
Determine, se possível, uma matriz P , tal que P - 1 A P = J esteja na forma canônica de Jordan. d ) 1 1 0 0 - 1 0 4 0 0 1 1 - 1 - 1 - 3 3 - 4 0 0 1 0 1 1 - 2 1 0 0 0 1 1 1 - 4 - 5 0 0 0 0 1 0 - 1 - 5
Determine, se possível, uma matriz P , tal que P - 1 A P = J esteja na forma canônica de Jordan. a ) 2 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 - 1
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