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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.4 - Ex. 3

Seja T : V → V um operador tal que seu polinômio característico é da forma:

p λ = - 1 n λ - λ 1 n 1 … λ - λ k n k , com λ 1 , … , λ k distintos. Seja w = L T - λ k m k . Mostre que:

a) w é T-invariante.

b) w ∩ N T - λ i I m i é invariante por T - λ k I m k .

c) A restrição de T - λ k I m k a w ∩ N T - λ i I m é injetiva e, portanto, sobrejetiva.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos seja T : V → V um operador tal que seu polinômio característico é da forma:

p λ = - 1 n λ - λ 1 n 1 … λ - λ k n k , com λ 1 , … , λ k distintos. Seja w = L T - λ k m k . Mostre que:

a) w é T-invariante.

b) w ∩ N T - λ i I m i é invariante por T - λ k I m k .

c) A restrição de T - λ k I m k a w ∩ N T - λ i I m é injetiva e, portanto, sobrejetiva.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

p λ = - 1 n λ - λ 1 n 1 … λ - λ k n k

com λ 1 , … , λ k distintos. Seja w = L T - λ k m k

temos na letra (a) para w ser T-invariante fica,

w = N T - 2 I 2

Na letra (b) para w ∩ N T - λ i I m i é invariante por T - λ k I m k ficando,

T T - λ j I m i - 1 V j = λ j T - λ j I m j - 1 ( V j )

Na letra ( c ) para a restrição de T - λ k I m k a w ∩ N T - λ i I m i é injetiva, temos

U w = T - λ I w , para todo w ∈ w λ

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) w = N T - 2 I 2

b) λ j T - λ j I m j - 1 ( V j )

c) U w = T - λ I w , para todo w ∈ w λ

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Determine, se possível, uma matriz P , tal que P - 1 A P = J esteja na forma canônica de Jordan. b ) 2 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 - 1 0 2 0 0 0 0 1 0 2 0 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 1 - 1