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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 6.3 - Ex. 2

2. Seja u o centróide dos vetores u 1 , u 2 , … , u p do R n . Calcular nos exemplos do exercício 1 a soma u - u 1 2 + … + u - u p 2 .

Passo 1

Só vamos precisar pegar os vetores do exercício anterior e fazer essa soma aí...

Lembrando que:

x 2 = x 1 2 + … + x n 2

Vamos à luta, então...

Passo 2

a) u 1 = 1,2 e u 2 = 2,1 ;

u = 3 2 , 3 2

u - u 1 = 1 - 3 2 , 2 - 3 2 = - 1 2 , 1 2

u - u 2 = 2 - 3 2 , 1 - 3 2 = 1 2 , - 1 2

A soma, então:

u - u 1 2 + u - u 2 2 = - 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 2 + - 1 2 2 = 1

Passo 3

b)   u 1 = 1,1 , u 2 = 1,2 , u 3 = 4 , - 1 e u 4 = 2,2 ;

u = 2,1

u - u 1 = 2 - 1,1 - 1 = 1,0

u - u 2 = 2 - 1,1 - 2 = 1 , - 1

u - u 3 = 2 - 4,1 - - 1 = - 2,2

u - u 4 = 2 - 2,1 - 2 = 0 , - 1

A soma, então:

u - u 1 2 + u - u 2 2 + u - u 3 2 + u - u 4 2 =

= 1 2 + 0 2 + 1 2 + - 1 2 + - 2 2 + 2 2 + 0 2 + - 1 2 = 12

Resposta

  1. 1
  2. 12
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3. Enunciar rigorosamente e provar: um operador linear do R n preserva os centróides.
4. Tomemos três vetores no R 2 , cujas extremidades formem um triângulo. Qual é o ponto do triângulo que coincide com a extremidade do centróide dos três vetores?
1. Calcular o centróide dos vetores e representar geometricamente: u 1 = 1,2 e u 2 = 2,1 ; u 1 = 1,1 , u 2 = 1,2 , u 3 = 4 , - 1 e u 4 = 2,2 ; u 1 = 1,2 , 1 , u 2 = - 1 , - 2,0 e u 3 = 0,0 , - 1 ; u 1
5. Seja W o sub-espaço do R 4 gerado pelos vetores u 1 = 1,2 , 0,1 , u 2 = 2 , - 1,0 , 0 e u 3 = 0,0 , 1,0 . Calcular a projeção do vetor u sobre W nos seguintes casos: u = 3,1 , 2,2 ; u = 1,2 , 1,1 ;