Seja um conjunto no espaço que contém pelo menos dois pontos. Suponha que tem a seguinte propriedade: a reta que une dois pontos quaisquer de está contida inteiramente em . Prove que é uma reta, um plano ou o espaço todo.

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos entendendo o problema, nele o espaço tem no mínimo dois pontos, sabemos pelo axioma da álgebra que por dois pontos somente passa uma reta.

Então devemos prova que essa reta é convexa, pois uma reta convexa passar um plano ou espaço.

Preparado vamos lá então!

Sabemos pelo nosso livro texto que a intersecção de dois conjuntos convexos é convexa.

Portanto, se é um conjunto convexo, a interseção de com uma linha é convexa

Por outro lado, suponha que a interseção de com qualquer linha seja convexa.

Tome quaisquer dois pontos distintos .

A interseção de com a linha que passa por é convexa. Portanto, combinações convexas de pertencem à interseção, portanto, também a .

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!