Se a b c d = m e a matriz de uma rotação em torno da origem, mostre que as colunas de m são vetores unitários ortogonais e o mesmo vale para as linhas.

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Este exercício vai requerer um pouco mais de domínio algébrico, já que o mesmo se trata de uma demonstração.

Preparado?

Então temos um operador de rotação descrito como R   :   R ²   →   R ² , que leva cada vetor v no vetor   T ( v ) que dele resulta pela rotação de ângulo θ em torno da origem.

Inicialmente vamos supor que eles são vetores da base canônicas descritas como:

T e 1 =   a ,   c = T 1,0 = (   c o s θ , s e n θ ) e T e 2 =   b , d = T 0,1 = ( - s e n θ , c o s θ )

De modo que a matriz m agora canônica será descrita como:

  T e 1 T e 2 | = [ c o s θ - s e n θ s e n θ c o s θ ]

Como temos uma matriz de rotação se x = (x,y) for um vetor em R² e se w= (w1,w2) for sua imagem por essa rotação, então a reação w= mx pode ser dada em termos de sua componentes

x c o s θ - y s e n θ =   w 1 x s e n θ + y c o s θ =   w 2

Com isso provamos que as colunas e linhas da matriz de rotação são vetores, pois sói vetores podem ser escrito em termos de suas componentes.

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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