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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 19

Considere o plano π : 2 x + 2 y - z = 0 .

  1. Determine as retas r, interseção do plano π com o plano yz, s, interseção do plano π com o plano xz e t, interseção do plano π com o plano z = 2. Desenhe um esboço do plano π mostrando as retas r, s e t.

  2. Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π, os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2. (Sugestão: este volume é igual a 1/6 do volume do paralelepípedo determinado por O A → , O B → e O C → , em que O = (0, 0, 0), A e o ponto interseção do eixo z com o plano z = 2, B e a interseção das retas r e t e C e a interseção das retas s e t.)

  3. Determine a área da face do tetraedro contida no plano π.

  4. Determine a altura do tetraedro relativa à face contida no plano π. (Sugestão: a reta ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A intercepta o plano π num ponto P de forma que a altura procurada e igual a|| −→ AP ||)

Passo 1

Eita questão gigante, hein!

Mas calma, vamos por partes!

Primeiramente o item a:

A reta r é interseção do plano π com o plano y z , ou seja, o plano x = 0 .

Logo, a gente pode fazer assim:

r :   2 x + 2 y - z = 0 x = 0

Substituindo a segunda na primeira, ficamos com:

2 y - z = 0

z = 2 y

Chamando y = t , podemos escrever a reta:

r : x = 0 y = t z = 2 t   ,   t ∈ R

Passo 2

Agora vamos fazer a interseção com o plano x z , ou seja y = 0 :

s :   2 x + 2 y - z = 0 y = 0

Substituindo, temos:

2 x - z = 0

z = 2 x

Fazendo x = t , temos a reta:

s :   x = t y = 0 z = 2 t     ,   t ∈ R

Passo 3

E com o plano z = 2 :

t :   2 x + 2 y - z = 0 z = 2

2 x + 2 y - 2 = 0

2 x = 2 - 2 y

x = 1 - y

Chamando y = t , temos:

t :   x = 1 - t y = t z = 2 ,   t ∈ R

E agora o esboço:

Passo 4

Bora pro item b) agora!

Temos que os pontos citados são:

A = 0,0 , 2 ,   B = 0,1 , 2     e     C = ( 1,0 , 2 )

Como o ponto O = ( 0,0 , 0 ) , os vetores são dessas coordenadas mesmo.

Fazemos então:

det ⁡ 0 0 2 0 1 2 1 0 2 =   - 2

O volume então é:

V = 1 6 - 2 = 1 3

Passo 5

c) A área do tetraedro é dada por:

A = 1 2 O B → × O C →

1 2 2,2 , - 1 = 1 2 2 2 + 2 2 + - 1 2

= 1 2 9 = 3 2  

Passo 6

d) Temos que a altura do tetraedro é dada pela distância de π ao ponto A :

h = d i s t π ,   A =   | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2

=   2 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 - 1 ⋅ 2 2 2 + 2 2 + - 1 2   = - 2 9 = 2 3

A altura do tetraedro então é 2 3 .

E assim encerramos a questão! 😊

Resposta

  1. r : x = 0 y = t z = 2 t   ,   t ∈ R                 s :   x = t y = 0 z = 2 t     ,   t ∈ R               t :   x = 1 - t y = t z = 2 ,   t ∈ R

  2. 1 3

  3. 3 2

  4. 2 3

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