Considere o plano .
- Determine as retas r, interseção do plano π com o plano yz, s, interseção do plano π com o plano xz e t, interseção do plano π com o plano z = 2. Desenhe um esboço do plano π mostrando as retas r, s e t.
- Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π, os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2. (Sugestão: este volume é igual a 1/6 do volume do paralelepípedo determinado por , e , em que O = (0, 0, 0), A e o ponto interseção do eixo z com o plano z = 2, B e a interseção das retas r e t e C e a interseção das retas s e t.)
- Determine a área da face do tetraedro contida no plano π.
- Determine a altura do tetraedro relativa à face contida no plano π. (Sugestão: a reta ortogonal ao plano π que passa pelo ponto A intercepta o plano π num ponto P de forma que a altura procurada e igual a|| −→ AP ||)
Passo 1
Eita questão gigante, hein!
Mas calma, vamos por partes!
Primeiramente o item a:
A reta é interseção do plano com o plano , ou seja, o plano .
Logo, a gente pode fazer assim:
Substituindo a segunda na primeira, ficamos com:
Chamando , podemos escrever a reta:
Passo 2
Agora vamos fazer a interseção com o plano , ou seja :
Substituindo, temos:
Fazendo , temos a reta:
Passo 3
E com o plano :
Chamando , temos:
E agora o esboço:
Passo 4
Bora pro item b) agora!
Temos que os pontos citados são:
Como o ponto , os vetores são dessas coordenadas mesmo.
Fazemos então:
O volume então é:
Passo 5
c) A área do tetraedro é dada por:
Passo 6
d) Temos que a altura do tetraedro é dada pela distância de ao ponto :
A altura do tetraedro então é .
E assim encerramos a questão! 😊