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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 11

Seja V = C 0 [ 0 , 1 ] o conjunto das funções contínua do intervalo [ 0 , 1 ] em R com o produto interno definido por

< f , g > = ∫ 0 1 f t . g t d t

Determine as projeções das funções dadas em relação aos subespaços Wn = [1, cos π t, . . . , cos n π t] e Vn = [sen π t, . . . , sen n π t].

f t = 0 ,   s e   0 ≤ t < 1 2 1 ,   s e 1 2 ≤ t ≤ 1

Passo 1

A primeira coisa que precisamos lembrar nesse exercício é que a fórmula de projeção é

p r o j v u = u , v v , v . v

Queremos encontrar a projeção da função f ( t ) em relação a dois subespaços distintos: W n e V n . Em W n , por exemplo, isso pode ser encontrado assim:

p r o j W n f = p r o j v 1 f + p r o j v 2 f + … + p r o j v n f

Onde v 1 , v 2 , … , v n são os elementos de W n

Para encontrar a projeção em V n , é análogo, ok? É só fazer a projeção de f em cada elemento do subespaço e somar tudo

Passo 2

Vamos começar por W n . A projeção de f nesse subespaço é

p r o j W n f = p r o j 1 f + p r o j c o s ⁡ ( π t ) f + p r o j c o s ⁡ ( 2 π t ) f + … + p r o j c o s ⁡ ( n π t ) f

Mas óbvio que não vamos fazer n projeções e somar os n termos, porque nem sabemos quem é n hahahaha vamos tentar apenas encontrar uma fórmula genérica pra essa projeção

Substituindo a fórmula da projeção:

p r o j W n f = f , 1 1 , 1 . 1 + f , c o s ⁡ ( π t ) cos ⁡ π t , c o s ⁡ ( π t ) . c o s ⁡ ( π t ) + … + f , c o s ⁡ ( n π t ) cos ⁡ n π t , c o s ⁡ ( n π t ) . c o s ⁡ ( n π t )

Passo 3

Vamos usar o produto interno que foi dado pelo enunciado:

p r o j W n f = ∫ 0 1 1 . f   d t ∫ 0 1 1   d t . 1 + ∫ 0 1 f . c o s ⁡ ( π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( π t )   d t . c o s ⁡ ( π t ) + … + ∫ 0 1 f . c o s ⁡ ( n π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( n π t )   d t . c o s ⁡ ( n π t )

A função f é dada assim:

f t = 0 ,   s e   0 ≤ t < 1 2 1 ,   s e 1 2 ≤ t ≤ 1

Então vamos separar nossa integral em uma parte entre 0 e 1 2 (com f valendo 0) e outra parte entre 1 2 e 1 (com f valendo 1)

p r o j W n f = ∫ 0 1 2 0   d t + ∫ 1 2 1 1   d t ∫ 0 1 1   d t . 1 + ∫ 0 1 2 0   d t + ∫ 1 2 1 c o s ⁡ ( π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( π t )   d t . c o s ⁡ ( π t ) + … + ∫ 0 1 2 0   d t + ∫ 1 2 1 c o s ⁡ ( n π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( n π t )   d t . c o s ⁡ ( n π t )

Passo 4

Então temos isso aqui:

p r o j W n f = ∫ 1 2 1 1   d t ∫ 0 1 1   d t . 1 + ∫ 1 2 1 c o s ⁡ ( π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( π t )   d t . c o s ⁡ ( π t ) + … + ∫ 1 2 1 c o s ⁡ ( n π t )   d t ∫ 0 1 c o s ² ⁡ ( n π t )   d t . c o s ⁡ ( n π t )

Resolvendo as integrais:

p r o j W n f = 1 2 + - 1 π 1 2 . c o s ⁡ ( π t ) + … + - s e n π n 2 π n 1 2 . c o s ⁡ ( n π t )

Dessa forma, podemos chegar na forma geral da nossa projeção:

p r o j W n f = 1 2 + ∑ m = 1 n - s e n π m 2 π m 1 2 . c o s ⁡ ( m π t )

p r o j W n f = 1 2 - 2 π ∑ m = 1 n s e n π m 2 m . c o s ⁡ ( m π t )

Passo 5

O esquema para encontrarmos a projeção no subespaço V n é o mesmo:

p r o j V n f = p r o j s e n ( π t ) f + p r o j s e n ( 2 π t ) f + … + p r o j s e n ( n π t ) f

p r o j V n f = f , s e n ( π t ) s e n π t , s e n ( π t ) . s e n ( π t ) + … + f , s e n ( n π t ) s e n n π t , s e n ( n π t ) . s e n ( n π t )

Substituindo o produto interno do enunciado:

p r o j V n f = ∫ 0 1 s e n ( π t ) . f   d t ∫ 0 1 s e n ² ( π t )   d t . 1 + … + ∫ 0 1 s e n n π t . f   d t ∫ 0 1 s e n ² ( n π t )   d t . s e n ⁡ ( n π t )

Passo 6

A função f é dada assim:

f t = 0 ,   s e   0 ≤ t < 1 2 1 ,   s e 1 2 ≤ t ≤ 1

Então vamos separar nossa integral em uma parte entre 0 e 1 2 (com f valendo 0) e outra parte entre 1 2 e 1 (com f valendo 1)

p r o j V n f = ∫ 0 1 2 0   d t + ∫ 1 2 1 s e n ( π t )   d t ∫ 0 1 s e n ² ( π t )   d t . 1 + … + ∫ 0 1 2 0   d t + ∫ 1 2 1 s e n n π t   d t ∫ 0 1 s e n ² ( n π t )   d t . s e n ⁡ ( n π t )

p r o j V n f = ∫ 1 2 1 s e n ( π t )   d t ∫ 0 1 s e n ² ( π t )   d t . 1 + … + ∫ 1 2 1 s e n n π t   d t ∫ 0 1 s e n ² ( n π t )   d t . s e n ⁡ ( n π t )

Resolvendo as integrais:

p r o j V n f = 1 π 1 2 . 1 + … + - - 1 n + cos ⁡ π n 2 π n 1 2 . s e n ⁡ ( n π t )

Então conseguimos encontrar a forma geral dessa projeção:

p r o j V n f = 2 π ∑ m = 1 n - - 1 n + cos ⁡ π m 2 m . s e n ⁡ ( m π t )

Yesss, acabamos!

Resposta

p r o j W n f = 1 2 - 2 π ∑ m = 1 n s e n π m 2 m . c o s ⁡ ( m π t )

p r o j V n f = 2 π ∑ m = 1 n - - 1 n + cos ⁡ π m 2 m . s e n ⁡ ( m π t )

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