Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 10
Seja o conjunto das funções contínua do intervalo em com o produto interno definido por
a) Determine uma base ortogonal para os subespaços
Em que é o espaço das funções polinomiais de grau menor ou igual a n
b) Calcule a projeção da função nos subespaços e
Passo 1
Vamos lá :D
a) O que precisamos entender antes de começar o exercício é: se temos um espaço de polinômios em que , necessariamente esses polinômios não terão termos independentes, porque por exemplo:
Sacou? Nesse polinômio aí em cima tínhamos um termo independente, e aí quando , ele fica sobrando ali
Para que , todos os termos do polinômio devem envolver algum
Dessa forma, uma base – não ortogonal – para é e uma base não ortogonal para é
Agora vamos ortogonalizar essas bases usando Gram-Schmidt 😉
Passo 2
Vamos começar por . Queremos encontrar uma base ortogonal a partir da base . Usando Gram-Schmidt, temos que
Já temos o primeiro elemento da base ortogonal. Para encontrarmos o segundo elemento, vamos fazer
Para fazer o produto interno, vamos usar a definição que foi dada no enunciado:
Agora é só fazer os cálculos!
Passo 3
Temos
Então
Então, o segundo elemento da base ortogonal é
Logo, uma base ortogonal para é
Agora vamos para 😊
Passo 4
Queremos encontrar uma base ortogonal a partir da base . Usando Gram-Schmidt, temos que
Já temos o primeiro elemento da base ortogonal. Para encontrarmos o segundo elemento, vamos fazer
Opa, essa conta já fizemos lá no espaço hehehe encontramos que
Agora é só encontrar o terceiro elemento da base ortogonal, porque tem dimensão 3 né
Passo 5
Usando Gram-Schmidt, o terceiro termo da base ortogonal vai ser
Usando o produto interno dado no enunciado, temos
Agora é >só
Passo 6
Temos
Então:
Dessa forma, uma base ortogonal para é
Passo 7
b) Agora queremos calcular a projeção da função em e
Para isso, precisamos saber que
Ou seja, vamos calcular a projeção dessa função em cada elemento da base e somar tudo
Lembrando que a fórmula de projeção é dada por
Vamos lá!
Passo 8
Vamos começar encontrando a projeção em , em que a base é
De onde temos:
Passo 9
Agora vamos encontrar a projeção em , que tem a base
De onde temos:
Uhhh, depois desse exercício merecemos até um cafezinho hein 😅
Resposta
a)
b)