Enunciado

Seja Y = ( a , b , c ) ∈ R ³ . Determine a matriz do operador linear T : R 3 → R ³ , definido por

T X = T x , y , z = X × Y = det ⁡ y z b c , - det ⁡ x z a c , det ⁡ x y a b

Em relação à base canônica

Passo 1

Oieee gente, vamos lá!

Como queremos encontrar a matriz de T em relação à base canônica, vamos fazer a transformação de cada elemento da base canônica e então dispor os resultados nas colunas de uma matriz, e essa será a matriz que queremos

Lembrando que a base canônica de R³ é

α = 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1

E além disso, utilizaremos um vetor genérico Y = ( a , b , c )

Vamos lá

Passo 2

Vamos começar fazendo X = ( 1,0 , 0 ) . Temos:

T x , y , z = X × Y = det ⁡ y z b c , - det ⁡ x z a c , det ⁡ x y a b

Então:

T 1,0 , 0 = det ⁡ 0 0 b c , - det ⁡ 1 0 a c , det ⁡ 1 0 a b

Calculando os determinantes, encontramos:

T 1,0 , 0 = ( 0 , - c , b )

Passo 3

Agora vamos para X = 0,1 , 0

T 0,1 , 0 = det ⁡ 1 0 b c , - det ⁡ 0 0 a c , det ⁡ 0 1 a b

Calculando os determinantes:

T 0,1 , 0 = c , 0 , - a

Agora vamos para o terceiro vetor da base canônica 😉

Passo 4

Fazendo X = ( 0,0 , 1 ) , temos

T 0,0 , 1 = det ⁡ 0 1 b c , - det ⁡ 0 1 a c , det ⁡ 0 0 a b

Calculando os determinantes:

T 0,0 , 1 = - b , a , 0

Boaaa, agora é só montar a matriz ;D

Passo 5

Encontramos que:

T 1,0 , 0 = 0 , - c , b

T 0,1 , 0 = c , 0 , - a

T 0,0 , 1 = - b , a , 0

Colocando isso em uma matriz, temos:

T = 0 c - b - c 0 a b - a 0

Fechouuu?

Resposta

T = 0 c - b - c 0 a b - a 0

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