Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é um espaço vetorial em relação a nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :

a) x 1 , y 1 + x 2 , y 2 =   x 1 + x 2 , y 1 + y 2 e a x , y = ( x , a y ) , e

b) x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = x 1 , y 1   e a x , y = ( a x , a y )

Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam

Passo 1

a) Só de olhar esse vemos que o problema está na multiplicação uma vez que a soma está colocada da forma usual.

Vamos lá, vamos verificar se α + β v = α v + β v

α + β * ( x , y ) = α ( x , y ) + β ( x , y )

x , α + β y   = ( x , α y ) + ( x , β y )

Teremos:

x , α + β y   = ( 2 x , α + β y )

Opa! Isso é falso. Temos dois resultados DIFERENTES

Então esse é o caso em que algo deu errado

Passo 2

b) Pela mesma ideia da letra a), observamos que agora a MULTIPLICAÇÃO está sendo feita pelos meios usais. Então vamos nos concentrar nos axiomas da adição.

Observa o primeiro

u + v = v + u

Então, no nosso caso, se tivermos

u = x 1 , y 1   e   v = ( x 2 , y 2 )

Poderemos fazer

x 1 , y 1 + x 2 , y 2 = x 2 , y 2 + x 1 , y 1

No entanto, teremos como resultado

x 1 , y 1 = ( x 2 , y 2 )

Que é uma bela contradição!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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