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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 7

Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈   R a aplicação:

u , v → α u , v

Também é produto interno sobre V ?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro devemos definir o que é um produto interno em um espaço vetorial V :

O produto interno em um espaço vetorial V  é uma operação que associa a cada par de vetores e pertencentes ao conjunto  um número real tal que as seguintes propriedades são válidas:

  • u , v = v , u
  • u , v + w = u , v + u , w
  • k u , v = k u , v
  • u , v ≥ 0   e   u , v = 0   s e   e   s o m e n t e   s e   u = 0

onde k   ∈   R e u , v , w   ∈   V .

Beleza?

Então para que a aplicação:

u , v → α u , v

tal que   α ∈   R e u , v ∈   V devemos testar se essa aplicação define um produto interno confirmando as propriedades do produto interno:

  • u , v = α u , v = α v , u = v , u ;
  • α u , v = α u , v = u , α v

Ou seja, a aplicação é um produto interno para todo  α   ∈   R * . Pois um produto interno multiplicado por um escalar ainda é um produto interno, mas se o alfa for nulo essa aplicação será igual a zero para todos   u   e v pertencentes a   V   dentro dessa aplicação e não teríamos realmente um produto interno definido pois o resultado seria sempre igual a zero.

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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No espaço vetorial euclidiano R 4 sejam u = 1,2 , 0,1 e v = ( 3,1 , 4,2 ) . Determinar u , v ,u ,v ,d u , v ,u + v u + v e o cosseno do ângulo de u e v .
Verifique a lei do paralelogramo num espaço euclidiano V : u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2 ,∀ u , v∈ V .
Sabendo que u = 3 e v = 5 , com u e v elementos de um espaço euclidiano, determine α ∈R de maneira que u + α v , u - α v = 0
Mostrar que, se u ,v = 0 , para todo vetor v , então u = o .