Seja V um espaço euclidiano com produto interno u , v . Para que valores de α ∈   R a aplicação:

u , v → α u , v

Também é produto interno sobre V ?

Passo 1

Vamos lá! Primeiro devemos definir o que é um produto interno em um espaço vetorial V :

O produto interno em um espaço vetorial V  é uma operação que associa a cada par de vetores e pertencentes ao conjunto  um número real tal que as seguintes propriedades são válidas:

  • u , v = v , u
  • u , v + w = u , v + u , w
  • k u , v = k u , v
  • u , v ≥ 0   e   u , v = 0   s e   e   s o m e n t e   s e   u = 0

onde k   ∈   R e u , v , w   ∈   V .

Beleza?

Então para que a aplicação:

u , v → α u , v

tal que   α ∈   R e u , v ∈   V devemos testar se essa aplicação define um produto interno confirmando as propriedades do produto interno:

  • u , v = α u , v = α v , u = v , u ;
  • α u , v = α u , v = u , α v

Ou seja, a aplicação é um produto interno para todo  α   ∈   R * . Pois um produto interno multiplicado por um escalar ainda é um produto interno, mas se o alfa for nulo essa aplicação será igual a zero para todos   u   e v pertencentes a   V   dentro dessa aplicação e não teríamos realmente um produto interno definido pois o resultado seria sempre igual a zero.

Beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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