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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Mostrar que, se 〈u , v〉 = 0 , para todo vetor v , então u = o .

Passo 1

Para essa questão, devemos começar definindo um vetor v genérico com n variáveis e um vetor u com n variáveis. Assim:

u = ( x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n )

v = ( x '_1 , x '_2 , x '_3 , ... , x '_n )

Vale lembrar que x_i^' ( i = 1 , ... , n ) é diferente de 0 para qualquer i .

Passo 2

Agora que definimos esses vetores, vamos aplicar a operação do produto interno usual. Logo:

〈u , v〉 = x_1 x_1^' + x_2 x_2^' + ... x_n x_n^'

Passo 3

Para que esse somatório seja 0 com x_i^' != 0 (i = 1 , ... , n) , cada uma das parcelas x_i x_i^' deve ser igual a 0 .

Para que isso aconteça, somente se x_i = 0 (i = 1 , ... , n) . O que implica em

u = ( x_1 , x_2 , x_3 , ... , x_n )

u = ( 0 , 0 , 0 , ... , 0 )

u = o

Pronto! Terminamos a demonstração.

Resposta

u = o

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