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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 25

Seja T : V → V linear

  1. Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
  2. A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, λ = 0 é autovalor de T ?

Passo 1

  1. Vamos lá, se λ = 0 é autovalor de T , temos que:

    2. T v = λ v → T - λ I v = 0

    Assim, temos uma aplicação com imagem nula, portanto v ∈ ker ⁡ T - λ I , mas λ = 0 , logo T v = 0 e T não é injetora, pois para T ser injetora o ker ⁡ T = 0 .

    Passo 2

  2. Como T não é injetora, então ker ⁡ T ≠ 0 , logo existe um subconjunto de V , S tal que v ∈ S implica T v = 0 . Portanto, T v = 0 ⋅ v , assim λ = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = - 1 - 4 14 2 - 7 14 2 - 4 11
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0
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