Seja T : V → V linear

  1. Se λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.
  2. A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, λ = 0 é autovalor de T ?

Passo 1

  1. Vamos lá, se λ = 0 é autovalor de T , temos que:
  2. T v = λ v → T - λ I v = 0

    Assim, temos uma aplicação com imagem nula, portanto v ∈ ker ⁡ T - λ I , mas λ = 0 , logo T v = 0 e T não é injetora, pois para T ser injetora o ker ⁡ T = 0 .

    Passo 2

  3. Como T não é injetora, então ker ⁡ T ≠ 0 , logo existe um subconjunto de V , S tal que v ∈ S implica T v = 0 . Portanto, T v = 0 ⋅ v , assim λ = 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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