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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 15

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:

A = 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0

Passo 1

Para achar os autovalores e autovetores da matriz temos que calcular:

det ⁡ A - λ I

Veja bem, sabemos que λ I é a matriz identidade multiplicada por λ , assim:

λ I = λ ⋅ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Vamos então agora calcular A - λ I :

A - λ I = 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ = - λ 1 0 0 - λ 1 - 1 0 - λ

Passo 2

Pronto, agora podemos calcular o determinante de det ⁡ A - λ I , vamos usar a Regra de Sarrus:

det ⁡ A - λ I = 0 → - λ 1 0 0 - λ 1 - 1 0 - λ = 0 → - λ - λ - λ - 1 = 0 → - λ 3 - 1 = 0 → λ = - 1

Temos que o autovalor de A é - 1 .

Passo 3

Agora vamos calcular os autovetores associados ao autovalor - 1 :

T v = λ v → 0 1 0 0 0 1 - 1 0 0 x y z = - 1 ⋅ x y z → y z - x = - x - y - z

Temos então o sistema:

y = - x z = - y - x = - z

Isolando os termos vamos achar os valores:

x = - y

z = - y

- x = - z → y = y

Pronto, assim temos:

- y , y , - y = y - 1 , 1 , - 1

Então os autovetores são da forma:

v = - 1,1 , - 1

Resposta

λ = - 1

v = - 1,1 , - 1

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Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial real de dimensão finita. Então, existe um subespaço weV , T-invariante, com 1 ≤ dim ⁡ w ≤ 2 .
Seja T : V → V . Suponha que V tenha dimensão finita. Mostre que o traço de T e igual à soma das raízes do seu polinômio característico, incluindo as multiplicidades.
Sejam T , S : V → V com V de dimensão finita. Mostre que T SeS T possuem os mesmos autovalores.
Se p t = a 0 + a 1 t + … + a n t n é um polinômio e A e uma matriz nxn , definimos a matriz p A = a 0 I n + a 1 A + … + a n A n . Seja p ( t ) o polinômio característico da matriz A , então p A = 0
Seja V um espaço vetorial real. Seja V C a complexificação de V , ou seja, e o conjunto das expressões V + i W , em que V , W ∈ V e i = - 1 . Em V C ,V + i W = V ' + i W ' significa V = V 'eW = W ' .