Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 3e

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que . Arrumando, a equação, vamos obter:

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de nessa equação. Por fim, a gente usa que de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

Expandindo pela primeira linha:

Do primeiro fato a gente encontra o primeiro autovalor . Beleza! E os outros dois? Pois é, eles vêm de , que só tem raízes complexas, ou seja, não interessam pra gente!

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de que encontramos na equação . Substituindo :

Multiplicando, vamos obter:

Essas duas equações vão nos dar:

Então já encontramos os nossos autovetores! Eles vão ser da forma .

Resposta

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Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : P 2 → P 2 tal que T a x 2 + b x + c = a x 2 + b x + c

Encontre a transformação linear T : R 2 → R 2 , tal que T tenha autovalores - 2 e 3 associados aos autovetores ( 3 y , y ) e - 2 y , y respectivamente.

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 2 → R 2 tal que T x , y = ( x + y , 2 x + y )

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : M 2 → M 2 tal que A → A ' (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas: T : R 3 → R 3 tal que T x , y , z = ( x + y , x - y + 2 z , 2 x + y - z )