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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 18

Seja A a matriz

2 0 4 1

Em cada parte, calcule a quantidade dada.

  1. A 3
  2. A - 3
  3. A 2 - 2 A + I
  4. p ( A ) , onde p x = x - 2
  5. p A , onde p x = 2 x 2 + x + 1
  6. p ( A ) , onde p x = x 3 - 2 x + 4

Passo 1

Bora começar então pela nossa letra (a). Ela quer que a gente encontre nossa matriz A elevada ao cubo.

A 3 = A . A . A = A 2 . A =   2 0 4 1 2 0 4 1 2 0 4 1 = 4 0 12 1 ⏝ A 2 2 0 4 1 ⏝ A ⇒

A 3 =   4 0 12 1 ⏝ A 2 2 0 4 1 ⏝ A = 8 0 28 1

A 3 =   8 0 28 1

Passo 2

Agora nossa letra (b) pede pra gente encontrar A - 3 . E pra isso a gente pode usar o bizu quentinho diretamente do nosso item(b) do Teorema 1.4.7 que diz que se A for uma matriz invertível e n um inteiro diferente de 0 , então A n é invertível e existe igualdade maravilinda A n - 1 = A - n = A - 1 n , ou seja, a gente não vai precisar encontrar A - 1 e multiplicar ela por ela mesmo 3 vezes. Como acabamos de descobrir A 3 basta a gente encontrar a inversa dela, isto é, A 3 - 1 .

A 3 =   8 0 28 1 ⇒ A 3 - 1 = 1 8 - 0 1 0 - 28 8

A - 3 = 1 8 1 0 - 28 8

Passo 3

Já na nossa letra (c) vamos ter uma equação envolvendo nossa matriz, essa equação é dada por A 2 - 2 A + I . Aqui é o segredo é a gente encontrar os termos separadamente e depois juntar tudo, desse jeitinho aqui ó:

A 2 = 4 0 12 1

2 A = 4 0 8 2

I = 1 0 0 1

A 2 - 2 A + I =   4 0 12 1 - 4 0 8 2 + 1 0 0 1 = 1 0 4 0

Passo 4

A letra (d) também traz um polinômio pra gente resolver, p x = x - 2 , onde p A = A - 2 I

A =   2 0 4 1

2 I =   2 0 0 2

A - 2 I =   2 0 4 1 -   2 0 0 2 = 0 0 4 - 1

Passo 5

Show de bolinhas, agora a letra (e) também traz um polinômio, p x = = 2 x 2 + x + 1 , onde p A = 2 A 2 + A + I .

2 A 2 = 8 0 24 2

A =   2 0 4 1

I = 1 0 0 1

2 A 2 + A + I =   8 0 24 2 +   2 0 4 1 +   1 0 0 1 = 11 0 28 4

Passo 6

Finalmente na nossa letra (e) tem mais um polinômiozinho iti malia pra gente resolver, p x = x 3 - 2 x + 4 , onde p A = A 3 - 2 A + 4 I .

A 3 =   8 0 28 1

2 A = 4 0 8 2

4 I = 4 0 0 4

A 3 - 2 A + 4 I =   8 0 28 1 -   4 0 8 2 + 4 0 0 4 = 8 0 20 3  

Resposta

  1. 8 0 28 1
  2. 1 8 1 0 - 28 8
  3. 1 0 4 0
  4. 0 0 4 - 1
  5. 11 0 28 4
  6. 8 0 20 3
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