Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 17b
Seja
Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja
.
b) Mostre que o produto DA é obtido da matriz A multiplicando-se cada linha i por , ou seja, se , em que é a coluna i de A, então
Passo 1
Primeiramente, podemos usar a definição do produto matricial para realizar a multiplicação de uma matriz D, nxn, por uma matriz A, também nxn.
Passo 2
Agora, sabendo que cada linha de A pode ser escrita da forma , ou seja:
,
,
Até
,
Compreendemos que A pode ser escrita de modo que .
Passo 3
Por fim, realizando a multiplicação de cada coeficiente , com i = 1, 2, 3... n, pela linha de A com i equivalente, obtemos:
Mas sabemos que é equivalente ao produto da matriz pelo escalar , ou seja:
.
Dessa forma, a matriz composta pelos produtos , j = 1, 2, 3... n, é dada por:
,
A qual é a mesma matriz obtida pelo produto DA.