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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 4

Sejam:

A = 1 - 3 0 0 4 - 2 e X = x y z

Verifique que x A 1 + y A 2 + z A 3 = A X , em que A j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3.

Passo 1

Nessa questão, devemos usar da definição de produto entre matrizes. Notamos que o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz X, dessa forma, a multiplicação das duas matrizes é possível.

Relembrando como é feito o produto entre matrizes, temos que:

Dadas duas matrizes A = ( a i j ) m   x   p e B = ( b i j ) p   x   n , o produto AB é obtido por:

c i j =   a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + … + a i p b p j

Passo 2

Aplicando o produto entre matrizes nas matrizes A e X:

AX = 1 x   +   - 3 y + 0 z 0 x + 4 y + - 2 z = x - 3 y 4 y - 2 z

Passo 3

Agora, calculando x A 1 + y A 2 + z A 3 , utilizamos a operação de multiplicação de matriz por escalar, considerando x, y e z como escalares:

x A 1 =   x 1 0 =   x 0  

y A 2 =   y - 3 4 =   - 3 y 4 y  

z A 3 =   z 0 - 2 =   0 - 2 z  

Pela soma de matrizes:

x A 1 + y A 2 =   x + ( - 3 y ) 0 + 4 y = x - 3 y 4 y

x A 1 + y A 2 + z A 3 =   x - 3 y 4 y +     0 - 2 z =   x - 3 y + 0 4 y + ( - 2 z )    

Assim:

x A 1 + y A 2 + z A 3 = x - 3 y 4 y - 2 z    

Resposta

x A 1 + y A 2 + z A 3 = x 0 + - 3 y 4 y + 0 - 2 z = x - 3 y 4 y - 2 z = A X

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