Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 7
Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = , então AB = BA.
Passo 1
A primeira coisa é notar que, se A e B comutam com M, então, AM = MA e BM = MB.
Supondo que A seja uma matriz 2x2, tal que:
A multiplicação de A e M é dada por:
AM =
AM =
Já a multiplicação de M por A é dada por:
MA =
MA =
Visto que as matrizes comutam, então AM = MA:
Ou seja, c = -b e d = a. Então podemos escrever a matriz A como:
Passo 2
Podemos fazer para a matriz B o mesmo que foi feito para a matriz A. Supondo que B é uma matriz 2x2:
BM = =
MB =
Ou seja, g = -f e h = e. E a matriz B pode ser escrita como:
Passo 3
Realizando as multiplicações AB e BA, podemos tirar a prova de que a as matrizes A e B comutam, caso os resultados sejam iguais. Assim:
AB =
Que pode ser reescrito como:
AB =
E
BA =
Que pode ser reescrito como:
BA =
Resposta
AB = BA = , para a, b, c, d, e, f, g, h quaisquer.