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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 1

Seja p uma matriz invertível 3 x 3. Prove que, para toda matriz m do tipo 3 x 3, tem–se d e t ( p - 1 m p ) =   d e t   m

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Lembrando que a matriz invertível é aquela em seu produto pela matriz é igual ao valor de uma matriz identidade.

E uma matriz identidade de ordem 3, é igual

I = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Assim, para resolver esta questão, vamos escolher uma matriz m qualquer e uma matriz p, para demonstrar o enunciado dado na questão.

p = 1 2 0 0 1 0 0 0 1 e m = 1 2 3 0 1 4 0 0 1

Passo 2

O próximo passo é descobri o valor da matriz resolver a equação proposta na questão e descobrir qual o valor da matriz p - 1 .

Para descobri, será usado a seguinte relação,

p . p - 1 = I

1 2 0 0 1 0 0 0 1 .   x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

x 1 + 2 y 1 x 2 + 2 y 2 x 3 + 2 y 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3     = 1 0 0 0 1 0 0 0 1    

Com isso em mente, é possível encontrar um sistema de equações para determinar os coeficientes da matriz p - 1 .

O sistema é montado igualando os termos das matrizes, visto que, se trata de uma igualdade.

x 1 + 2 y 1 = 1 ;         x 2 + 2 y 2 = 0 ;             x 3 + 2 y 3 = 0

y 1 = 0 ;       y 2 = 1 ;         y 3 = 0

z 1 = 0 ;         z 2 = 0 ;         z 3 = 1 ;

Passo 3

Como no passo anterior igualando os termos foi possível encontrar alguns coeficientes, neste passo vamos os valores de x 1 ,   x 2   e   x 3 .

x 1 + 2 y 1 = 1

Sendo y 1 = 0 ,

x 1 = 1

Para,

  x 2 + 2 y 2 = 0

Sendo y 2 = 1 ,

x 2 = - 2

Para,

x 3 + 2 y 3 = 0

Sendo y 3 = 0 ,

x 3 = 0 ;

Passo 4

Podemos concluir efetuando a multiplicação entres as matrizes, os valores dos coeficientes da matriz p - 1 ,

p - 1 = 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1    

Agora é possível calcular o valor do determinante,

d e t ( p - 1 m p ) = det ⁡ 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1     1 2 3 0 1 4 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1

d e t p - 1 m p = d e t ⁡ 1 - 2 0 0 1 0 0 0 1     1 4 3 0 1 4 0 0 1

d e t p - 1 m p = d e t ⁡ 1 2 - 5 0 1 4 0 0 1

d e t p - 1 m p = 1

E o d e t   m   é,

d e t   m = d e t 1 2 3 0 1 4 0 0 1

d e t   m = 1

Resposta

Então, podemos concluir que o valores dos determinantes são os mesmo, visto que, o produto de uma matriz por sua própria matriz inversa é o valor de uma matriz identidade.

d e t p - 1 m p = d e t   m = 1

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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