Seja A uma matriz n   x   n . Mostre que se A A t = 0 , então A = 0 . (Sugestão: Use o traço.) E se a matriz A for m   x   n , com m ≠ n ?

Passo 1

Fala aee, pessoal! Tudo bem?

Vamos definir quem são as matrizes A e A t :

A = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n

A t = a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n

Passo 2

Realizando o produto matricial A A t , temos:

A A t = a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n a 11 ⋯ a n 1 ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n ⋯ a n n

A A t = a 11 2 + … + a 1 n 2 ⋯ a 11 a n 1 + … + a 1 n a n n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a 11 + … + a n n a 1 n ⋯ a n 1 2 + … + a n n 2

Passo 3

Se A A t = 0 , então:

t r A A t = 0

a 11 2 + … + a 1 n 2 + … + a n 1 2 + … + a n n 2 = 0

Assim:

A = 0

Passo 4

Se A for m   x   n , com m ≠ n , então:

A m x n

A t n x m

E o produto matricial será:

A m x n A t n x m = A A t m x m

Assim,

t r A A t = 0

A = 0

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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