Sejam A , B e C matrizes n x n . (a) (A B) C = C ( A B ) ? E se A C = C A e B C = C B ? Justifique.

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

(A B) C = C ( A B ) é uma equação verdadeira?

Precisamos verificar a propriedade ( h ) na página 11. Lá diz que:

A (B C) = (A B) C

Essa equação é diferente de

(A B) C = C (A B) ( i )

Portanto, a equação ( i ) não é verdadeira.

Passo 2

Vamos a um contra-exemplo para provar que (A B) C = C ( A B ) não é verdadeira.

Considere que:

A = [[[1,0],[0,0]]]

B = [[[2,1],[1,2]]]

C = [[[1,2],[3,4]]]

(A B) C = [[[5,8],[0,0]]]

C (A B) = [[[2,1],[6,3]]]

Ou seja,

( A B ) C != C ( A B )

Passo 3

Se A C = C A e B C = C B , então

C = I_n

Pois, para que A C = C A e B C = C B , C deve ser um elemento neutro.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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