14. Seja A uma matriz quadrada.(a) Mostre que I - A - 1 = I + A + A 2 + A 3 Se A 4 = 0 .(b) Mostre que I - A - 1 = I + A + A 2 + … + A n Se A n + 1 = 0 .

Enunciado

(a) Vamos fazer só uma mágicazinha, mas depois vamos usar só as propriedades...

Olha... olhando pra isso me dá MUITA vontade de multiplicar dos dois lados por ...

Lembra que: (só a definição de matriz inversa)

Então, do lado esquerdo:

Hummmmmmmm... fica bonito, ne?

Vamos fazer dos dois lados:

Usando a propriedade distributiva e a definição de matriz inversa.

Lembrando que a qualquer matriz multiplicada pla matriz identidade dá ela mesma...

Então:

Cortando tudo... BOOM..

(b) Aqui vamos fazer a mesma coisa...

Multiplicando dos dois lados e tals...

Blá blá blá...

Já temos uma idéia de que tudo vai dar zero... Só vamos generalizar, dessa vez...

(a)

(b)