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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 27

27. Mostre que a matriz

A = 1 2 e i θ e - i θ i e i θ - i e - i θ

É unitária, qualquer que seja o valor de θ . [Nota: ver a Fórmula (17) no Apêndice B para a definição de e i θ .]

Passo 1

Olhando a Fórmula no Apêndice e tals:

e i θ = cos ⁡ θ + i   s e n   θ

Então:

A = 1 2 cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ i cos ⁡ θ + i   s e n   θ - i cos ⁡ θ - i   s e n   θ

A = 1 2 cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ i cos ⁡ θ + i 2 s e n   θ - i cos ⁡ θ + i 2 s e n   θ

A = 1 2 cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ

Vamos achar a matriz transposta conjugada:

A * = 1 2 cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ

Agora multiplicando as duas:

A * A = 1 2 cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ 1 2 cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ

A * A = 1 2 cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ - s e n   θ + i cos ⁡ θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ

Passo 2

Vamos fazer termo a termo porque é muito grandee:

a 11 = cos ⁡ θ - i   s e n   θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ + - s e n   θ - i cos ⁡ θ ( - s e n   θ + i cos ⁡ θ )

a 11 = cos 2 ⁡ θ - i 2   s e n 2   θ + s e n 2   θ - i 2 cos 2 ⁡ θ

a 11 = cos 2 ⁡ θ +   s e n 2   θ + s e n 2   θ + cos 2 ⁡ θ

a 11 = 2

a 12 = cos ⁡ θ - i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ + - s e n   θ - i cos ⁡ θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ

a 12 = cos ⁡ θ - i   s e n   θ 2 + - s e n   θ - i cos ⁡ θ 2

a 12 = cos 2 ⁡ θ - 2 i   s e n   θ cos ⁡ θ + i 2 s e n 2 θ + s e n 2 θ + 2 i   s e n   θ cos ⁡ θ + i 2 cos ⁡ θ

a 12 = cos 2 ⁡ θ - 2 i   s e n   θ cos ⁡ θ - s e n 2 θ + s e n 2 θ + 2 i   s e n   θ cos ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ

a 12 = 0

a 21 = cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ + i   s e n   θ + - s e n   θ + i cos ⁡ θ ( - s e n   θ + i cos ⁡ θ )

a 21 = 0

a 22 = cos ⁡ θ + i   s e n   θ cos ⁡ θ - i   s e n   θ + - s e n   θ + i cos ⁡ θ - s e n   θ - i cos ⁡ θ

a 22 = 2

Passo 3

Voltando lá pra multiplicação de matriz:

A * A = 1 2 2 0 0 2

A * A = 1 0 0 1

Então a gente conclui que:

A * = A - 1

Portante, A é unitária

Resposta

A é unitária

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