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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 11

Nos Exercícios 3 - 12 , determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os pares de números reais da forma 1 , x com as operações

1 , y + 1 , y ' = 1 , y + y ' e a 1 , y = 1 , a y

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele deve satisfazer os 10 axiomas abaixo:

  1. Se u e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V .
  2. u + v = v + u .
  3. u + v + w = u + v + w
  4. Existe um objeto 0 em V , denominado vetor nulo de V , ou vetor zero, tal que 0 + u = u + 0 = u .
  5. Dado qualquer u em V , existe algum objeto - u , denominado negativo de u , tal que u + - u = - u + u = 0 .
  6. Se a for qualquer escalar e u um objeto em V , então k u é um objeto em V .
  7. a u + v = a u + a v .
  8. a + b u = a u + b u .
  9. a b u = a b u .
  10. 1 u = u .

Lembrando que chamaremos de V o conjunto do enunciado com suas devidas operações. Portanto:

Considere que V seja o conjunto de todos os pares de número reais do formulário ( 1 , x ) com as operações:

1 , y + 1 , y ' = 1 , y + y ' e a 1 , y = 1 , a y

Chamaremos:

u = 1 , x 1

v = 1 , x 2

w = 1 , x 3

Passo 2

Para o axioma 1 , temos que:

u + v = 1 , x 1 + 1 , x 2

De acordo com a regra de operação do enunciado, temos que:

u + v = 1 , x 1 + x 2

Que é da forma de V satisfazendo assim o axioma 1 .

Vamos encontrar v + u :

v + u = 1 , x 2 + 1 , x 1

v + u = 1 , x 2 + x 1

Portanto, podemos dizer que:

u + v = v + u

Estando assim satisfeito o axioma 2 .

Passo 3

O axioma 3 diz que u + ( v + w ) tem que ser igual a u + v + w . Temos que:

u + v + w = 1 , x 1 + 1 , x 2 + 1 , x 3

u + v + w = 1 , x 1 + 1 , x 2 + x 3

Portanto:

u + v + w = 1 , x 1 + x 2 + x 3

Agora vamos avaliar u + v + w . Temos que:

u + v + w = 1 , x 1 + 1 , x 2 + 1 , x 3

u + v + w = 1 , x 1 + x 2 + 1 , x 3

Portanto:

u + v + w = 1 , x 1 + x 2 + x 3

Ou seja:

u + v + w = u + v + w

Ficando assim satisfeito o terceiro axioma.

Passo 4

Seja 0 = 1 , y o vetor zero em V , temos que:

u + 0 = u

1 , x 1 + 1 , y = ( 1 , x 1 )

Ou seja:

1 , x 1 + y = 1 , x 1

Logo:

y = 0

Então 0 = 1,0 é o elemento zero em V .

Portanto:

u + 0 = 0 + u = u

Ficando assim satisfeito o axioma 4 .

Passo 5

Seja o negativo de u :

- u = 1 , z

Portanto:

u + - u = 0

1 , x 1 + 1 , z = 1,0

1 , x 1 + z = 1,0

Logo:

x 1 + z = 0

z = - x 1

Logo:

- u = 1 , - x 1

Além disso, podemos dizer que:

u + - u = - u + u

Portanto, - u está em V e u + - u = - u + u = 0 . Sendo assim o axioma 5 está provado.

Seja k um escalar, temos que:

k u = k ( 1 , x 1 )

k u = 1 , k x 1

Portanto o axioma 6 está satisfeito.

Passo 6

Já sabemos que u + v = ( 1 , x 1 + x 2 ) , portanto:

k u + v = k ( 1 , x 1 + x 2 )

k u + v = ( 1 , k ( x 1 + x 2 )

Sabemos também que:

k u = 1 , k x 1 + k x 2

Analogamente, temos que:

k v = 1 , k x 2

Portanto:

k u + k v = 1 , k x 1 + 1 , k x 2

k u + k v = ( 1 , k x 1 + k x 2 )

Ficando assim provado que:

k u + v = k u + k v

Respeitando assim o axioma 7 .

Passo 7

Vamos encontrar k + m u :

k + m u = k + m ( 1 , x 1 )

k + m u = 1 , k + m x 1

k + m u = 1 , k x 1 + m x 1

Temos também que:

k u + m u = ( 1 , k x 1 ) + 1 , m x 1

k u + m u = ( 1 , k x 1 + m x 1 )

Ou seja:

k + m u = k u + m u

Satisfazendo assim o axioma 8 .

Vamos encontrar agora k m u

k m u = k ( 1 , m x 1 )

k m u = ( 1 , k m x 1 )

Temos também que:

k m u = k m 1 , x 1

k m u = 1 , k m x 1

Ou seja:

k m u = k m u

Satisfazendo assim o axioma 9 .

Passo 8

Para o axioma 10 , temos que:

1 u = 1 1 , x 1

1 u = 1,1 x 1

1 u = u

Portanto o axioma 10 é satisfeito.

Resposta

É espaço vetorial.

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