Enunciado

Seja A uma matriz triangular, ou seja, uma matriz A   =   ( a i j ) tal que a i j = 0 sempre que i > j (ou, ao contrário, a i j = 0 , sempre que i

Passo 1

Eaaae galera! Antes de começar as continhas, vamos mostrar como é a matriz com o formato triangular superior

x 11 x 12 ⋯ x 1 j 0 x 22 ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j

Essa matriz ela é super especial, possui abaixo da diagonal principal um montão de zero!

Vamos lembrar da formulazinha para descobrir os valores próprios e a equação característica.

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Passo 2

O I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1         e   I λ = λ 0 ⋯ 0 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ

Agora vamos subtrair a Matriz

x 11 x 12 ⋯ x 1 j 0 x 22 ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - λ 0 ⋯ 0 0 λ ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ = x 11 - λ x 12 ⋯ x 1 j 0 x 22 - λ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!!

x 11 - λ x 12 ⋯ x 1 j 0 x 22 - λ ⋯ x 2 j ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ x i j - λ

É fácil de encontrar o determinante dessa matriz triangular superior! Por quê? Porque o determinante da matriz os números da diagonal principal multiplicados entre si

x 11 - λ x 22 - λ … x i j - λ

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Lembrando que é necessário que i seja igual a j para acontecer por se tratar da diagonal principal

Passo 3

Mas você percebeu que já está fatorado? Isso quer dizer que já encontramos o valor próprio!

( x 11 - λ ⏝ ) = 0 x 22 - λ … x i j - λ = 0

Assim λ 1 = x 11

x 11 - λ x 22 - λ ⏝ = 0 … x i j - λ = 0

λ 2 = x 22 , e continua assim, até chegar em um x i j

x 11 - λ x 22 - λ … ( x i j - λ ) ⏝ = 0 = 0

E λ 3 = x i j

Assim os valores próprios são x 11 , x 22 … ,   x i j

Resposta

Equação Característica:   x 11 - λ x 22 - λ … x i j - λ

Valores Próprios: x 11 , x 22 … ,   x i j

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