Enunciado

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do R 2 dado por:

c. T ( 1 ,   0 )   =   ( 0 ,   - 1 )   e   T ( 0 ,   1 )   =   ( 1 ,   0 )

Passo 1

Primeiro, vamos colocar em forma de matriz de T   1 ,   0 =   0 , - 1 e T 0,1 = ( 1,0 ) que seria, para isso vamos colocar em um sistema para ficar claro

Assim teremos o sistema

1 a + 0 b = 0 → a = 0 1 c + 0 d = 0 → c = 1 0 a + 1 b = - 1 → b = - 1 0 c + 1 d = 0 → d = 0

Substituindo, encontramos a matriz!

a c b d = 0 1 - 1 0

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

0 1 - 1 0 - λ 0 0 λ = - λ 1 - 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

- λ 1 - 1 - λ = 0

Então calculando o determinante temos a equação característica

- λ 2 + 1 = 0 → λ 2 + 1 = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico!

λ 2 + 1 = 0 → λ 2 = - 1

Mas como não existe raiz quadrada negativa dentro dos reais, concluímos que não existe solução de autovalores e vetores para os reais.

Resposta

Não existem valores e vetores próprios reais

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