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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 1b

Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:

  1. T(x, y) = (-x, - y);

Passo 1

Primeiro, vamos colocar em forma de matriz de T   x ,   y =   - x ,   -   y que seria, para isso vamos colocar em um sistema para ficar claro

- 1 x + 0 y 0 x - 1 y

Assim, dá pra perceber bem onde fica o -1 e zero, né? Então a matriz será

- 1 0 0 - 1

Vamos usar a formulazinha para descobrir os valores próprios

det ⁡ ( A - I λ ) = 0

Lembrando que I é a matriz identidade e o λ é o valor que queremos descobrir, logo

I = 1 0 0 1         e   I λ = λ 0 0 λ

Passo 2

Vamos subtrair

- 1 0 0 - 1 - λ 0 0 λ = - 1 - λ 0 0 - 1 - λ

Certinho? Então descobrimos A - I λ , agora falta colocar no determinante!

- 1 - λ 0 0 - 1 - λ = 0

Então calculando o determinante temos a equação característica

- 1 - λ 2 = 0 → λ 2 + 2 λ + 1 = 0

Uhuul! Encontramos o polinômio característico! Na forma fatorada é bem mais fácil de encontrar λ porque se

- 1 - λ = 0 → λ = - 1

Sendo que -1 está em duplicata, porque a equação está elevada ao quadrado

Passo 3

Agora vamos pro vetor próprio usando λ 1 = - 1

1 - λ 1 1 - 1 - λ ∼   2 0 0 2

Colocando no sisteminha de equações

2 0 0 2 x 1 x 2 = 0 0

Simplificando

2 0 0 0 2 0 ∼ 1 0 0 0 1 0

Então x 1 e x 2 será

2 x 1 = 0 → x 1 = 0 2 x 2 = 0 → x 2 = 0

Logo o vetor próprio será 0 ,   0 associado ao autovalor - 1 .

Resposta

O vetor próprio será 0 ,   0 associado ao autovalor - 1

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Achar os valores e os vetores próprios do operador T do IR 2 dado por:T(x, y) = (x + y, x - y);
Seja 1 1 0 1 a matriz de um operador do R 2 . Ache os valores próprios de T . Existem, neste caso, dois vetores próprios linearmente independentes?
Calcular o polinômio característico e os valores próprios das seguintes matrizes: 2 0 1 1 .- 1 - 1 - 3 1 .2 1 0 1e- 1 - 3 - 1 1
Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por b)T 1 ,0 ,0 = ( 0 ,0 ,0 ) , T ( 0 ,1 ,0 ) = ( 0 ,0 ,0 )eT ( 0 ,0 ,1 )=( 5 ,- 1 ,2 ) .
Achar os valores e os vetores próprios do operador linear T do R 2 dado por T 1 ,0 ,0 = 2 ,0 ,0 , T 0 ,1 ,0 = 2 ,1 ,2eT ( 0 ,0 ,1 ) = ( 3 ,2 ,1 ) ;