Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 15
(a) Seja
Mostre que, em relação a um sistema de coordenadas retangulares no espaço tridimensional, o espaço nulo de consiste em todos os pontos no eixo , e que o espaço coluna consiste em todos os pontos no plano (ver figura).
(b) Encontre uma matriz cujo espaço nulo seja o eixo e cujo espaço coluna seja o plano .
Passo 1
Fala aê!! Tudo certo? Vamos resolver essa questão?!
(a) Para este item, colocaremos, inicialmente, a matriz na sua forma escalonada. Ficando:
O espaço nulo de uma matriz consiste no conjunto de vetores que satisfação .
logo temos que:
Assim, a solução geral do sistema é portanto, o espaço nulo de é o eixo .
O espaço coluna tem que ser uma combinação linear dos vetores colunas da matriz logo:
Que é uma combinação linear de e , ou seja, o plano
Passo 2
(b) De modo semelhante ao item (a), podemos observar a seguinte matriz
Calculando o espaço nulo dela temos:
resolvendo as equações temos que:
Nela, temos que é
Portanto, o espaço nulo de é o eixo
Calculando o espaço coluna de temos:
Que é uma combinação linear de e , ou seja, o plano .
Resposta
Veja a resolução.