Enunciado

(a) Seja

A = 0   1   0   1   0   0   0   0   0  

Mostre que, em relação a um sistema de coordenadas retangulares x y z no espaço tridimensional, o espaço nulo de A consiste em todos os pontos no eixo z , e que o espaço coluna consiste em todos os pontos no plano x y (ver figura).

(b) Encontre uma matriz 3 × 3 cujo espaço nulo seja o eixo x e cujo espaço coluna seja o plano y z .

Passo 1

Fala aê!! Tudo certo? Vamos resolver essa questão?!

(a) Para este item, colocaremos, inicialmente, a matriz na sua forma escalonada. Ficando:

O espaço nulo de uma matriz consiste no conjunto de vetores que satisfação A x   =   0 .

logo temos que:

x + 0 y + 0 z = 0 ⇒ x = 0

0 x + y + 0 z = 0 ⇒ y = 0

0 x + 0 y + 0 z = 0 ⇒ 0 = 0

Assim, a solução geral do sistema A x   =   0 é x = 0 ,   y = 0     e     z = t     portanto, o espaço nulo de A é o eixo z .

O espaço coluna tem que ser uma combinação linear dos vetores colunas da matriz logo:

Que é uma combinação linear de x e y , ou seja, o plano x y .

Passo 2

(b) De modo semelhante ao item (a), podemos observar a seguinte matriz

Calculando o espaço nulo dela temos:

resolvendo as equações temos que:

0 x + 0 y + 0 z = 0 ⇒ 0 = 0

0 x + y + 0 z = 0 ⇒ y = 0

0 x + 0 y + z = 0 ⇒ z = 0

Nela, temos que é x = t ,   y = 0     e     z = 0

Portanto, o espaço nulo de B é o eixo x

Calculando o espaço coluna de B temos:

Que é uma combinação linear de y e z , ou seja, o plano y z .

Resposta

Veja a resolução.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .(a) A = 1 - 13 5 - 4 - 4 7 - 62 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 00 (c) A =1 4 5 22 1 3 0 - 1 3 2 2 (d) A =145693 - 214 - 1 - 10 - 1 - 2 - 123578 (e) A =
Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .(a) A = 1 - 13 5 - 4 - 4 7 - 62 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 00 (c) A =1 4 5 22 1 3 0 - 1 3 2 2 (d) A =145693 - 214 - 1 - 10 - 1 - 2 - 123578 (e) A =
Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .(a) A = 1 - 13 5 - 4 - 4 7 - 62 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 00 (c) A =1 4 5 22 1 3 0 - 1 3 2 2 (d) A =145693 - 214 - 1 - 10 - 1 - 2 - 123578 (e) A =
Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .(a) A = 1 - 13 5 - 4 - 4 7 - 62 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 00 (c) A =1 4 5 22 1 3 0 - 1 3 2 2 (d) A =145693 - 214 - 1 - 10 - 1 - 2 - 123578 (e) A =
Mostre que R θ 1 R θ 2 = R θ 1 + θ 2