Enunciado

Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .

(a) A = 1 - 1       3 5 - 4 - 4 7 - 6       2 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 0       0

(c) A =       1 4 5 2       2 1 3 0 - 1 3 2 2

(d) A =       1       4       5       6       9       3 - 2       1       4 - 1 - 1       0 - 1 - 2 - 1       2       3       5       7       8

(e) A =       1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       2 - 3 - 2       4       4       3 - 6       0       6       5 - 2       9       2 - 4 - 5

Passo 1

Olá! Tudo bem? Precisamos encontrar uma base do espaço nulo em cada item. Então temos:

A   X → = 0 →

(c) Para a primeira matriz temos:

      1       4       5       6       9       3 - 2       1       4 - 1 - 1       0 - 1 - 2 - 1       2       3       5       7       8 x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Escalonando:

      1       4       5       6       9       3 - 2       1       4 - 1 - 1       0 - 1 - 2 - 1       2       3       5       7       8 0 0 0 0

Fazendo L 2 = L 2 - 3 L 1 , L 3 = L 3 + L 1 e L 4 = L 4 - 2 L 1 :

1 4 5 6 9 0 - 14     - 14 - 14 - 28 0 4 4 4 8 0 - 5 - 5 - 5 - 10 0 0 0 0

Fazendo L 2 = L 2 / ( - 14 ) :

1 4 5 6 9 0 1 1 1 2 0 4 4 4 8 0 - 5 - 5 - 5 - 10 0 0 0 0

Fazendo L 3 = L 3 - 4 L 2 e L 4 = L 4 + 5 L 2 :

1 4 5 6 9 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Subindo, fazemos L 1 = L 1 - 4 L 2 :

1 0 1 2 1 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Ficamos com:

x 1 + x 3 + 2 x 4 + x 5 = 0 x 2 + x 3 + x 4 + 2 x 5 = 0 ⇒ x 1 = - x 3 - 2 x 4 - x 5 x 2 = - x 3 - x 4 - 2 x 5

Logo:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = x 3 - 1 - 1 1 0 0 + x 4 - 2 - 1 0 1 0 + x 5 - 1 - 2 0 0 1

Então uma base do espaço nulo de A é:

- 1 - 1 1 0 0 , - 2 - 1 0 1 0 , - 1 - 2 0 0 1

Resposta

- 1 - 1 1 0 0 , - 2 - 1 0 1 0 , - 1 - 2 0 0 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 1 - 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 ;b → = 2 0 0
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 0 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 3 2 ;b → = 4 3 5 7
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 9 2 - 1 3 1 1 1 1 ;b → = 5 1 - 1
Em cada parte, determine se b → está no espaço coluna de A e, se estiver, expresse b → como combinação linear dos vetores de A A = 1 3 4 - 6 ;b → = - 2 10
(a) Encontre todas as matrizes 2 × 2 cujo espaço nulo seja a reta 3 x - 5 y = 0 .(b) Esboce o espaço nulo das matrizes dadas. A = 1 4 0 5 , B = 1 0 0 5 , C = 6 2 3 1 , D = 0 0 0 0