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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 6e

Em cada parte, encontre uma base do espaço nulo de A .

(a) A = 1 - 1       3 5 - 4 - 4 7 - 6       2 (b) A = 2 0 - 1 4 0 - 2 0 0       0

(c) A =       1 4 5 2       2 1 3 0 - 1 3 2 2

(d) A =       1       4       5       6       9       3 - 2       1       4 - 1 - 1       0 - 1 - 2 - 1       2       3       5       7       8

(e) A =       1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       2 - 3 - 2       4       4       3 - 6       0       6       5 - 2       9       2 - 4 - 5

Passo 1

Olá! Tudo bem? Precisamos encontrar uma base do espaço nulo em cada item. Então temos:

A   X → = 0 →

(c) Para a primeira matriz temos:

      1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       2 - 3 - 2       4       4       3 - 6       0       6       5 - 2       9       2 - 4 - 5 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 0 0 0 0 0

Escalonando:

      1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       2 - 3 - 2       4       4       3 - 6       0       6       5 - 2       9       2 - 4 - 5 0 0 0 0 0

Fazendo L 3 = L 3 - 2 L 1 , L 4 = L 4 - 3 L 1 e L 5 = L 5 + 2 L 1 :

      1 - 3       2       2       1       0       3       6       0 - 3       0 3 - 6       0       2       0 3   - 6       0       2 0       3       6 0 - 3 0 0 0 0 0

Fazendo L 2 = L 2 / 3 :

      1 - 3       2       2       1       0       1       2       0 - 1       0 3 - 6       0       2       0 3   - 6       0       2 0       3       6 0 - 3 0 0 0 0 0

Fazendo L 3 = L 3 - 3 L 2 , L 4 = L 4 - 3 L 2 e L 5 = L 5 - 3 L 2 :

      1 - 3       2       2       1       0       1       2       0 - 1       0 0 - 12       0       5       0 0 - 12       0       5 0       0     0 0 0 0 0 0 0 0

Fazendo L 4 = L 4 - L 3 e depois L 3 = L 3 / ( - 12 ) :

      1 - 3       2       2       1       0       1       2       0 - 1       0 0 1       0 - 5 / 12       0 0   0       0       0 0       0     0 0 0 0 0 0 0 0

Subindo, fazemos L 1 = L 1 - 2 L 3 e L 2 = L 2 - 2 L 3 :

      1 - 3       0       2       1 1 / 6       0       1       0       0 - 1 / 6       0 0 1       0 - 5 / 12       0 0   0       0       0 0       0     0 0 0 0 0 0 0 0

Fazendo, finalmente, L 1 = L 1 + 3 L 2 :

      1 0       0       2       4 / 3       0       1       0       0 - 1 / 6       0 0 1       0 - 5 / 12       0 0   0       0       0 0       0     0 0 0 0 0 0 0 0

Ficamos com:

x 1 + 2 x 4 + 4 3 x 5 = 0 x 2 - 1 6 x 5 = 0 x 3 - 5 12 x 5 = 0 ⇒ x 1 = - 2 x 4 - 4 3 x 5 x 2 = 1 6 x 5 x 3 = 5 12 x 5

Logo:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = x 4 - 2 0 0 1 0 + x 5 - 4 / 3 1 / 6 5 / 12 0 1

Então uma base do espaço nulo de A é:

- 2 0 0 1 0 , - 4 / 3 1 / 6 5 / 12 0 1

Resposta

- 2 0 0 1 0 , - 4 / 3 1 / 6 5 / 12 0 1

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Para as matrizes do Exercício 6 , encontre uma base do espaço linha de A reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas.