Seja T : V → V um operador tal que seu polinômio característico e da forma

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Com, λ 1 , … , λ k , distintos. Mostre que:

(a) T é diagonalizável se, e somente se, o auto espaço generalizado w i associado a λ i é igual ao ´ auto espaço N ( T - λ i I ) associado a λ i , para i = 1 , … , k .

(b) T e diagonalizável se, e somente se, N T - λ i I = N T - λ i I 2 , para i = 1 , … , k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos T : V → V um operador tal que seu polinômio característico e da forma

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Com, λ 1 , … , λ k , distintos. Mostre que:

(a) T é diagonalizável se, e somente se, o auto espaço generalizado w i associado a λ i é igual ao ´ auto espaço N ( T - λ i I ) associado a λ i , para i = 1 , … , k .

(b) T e diagonalizável se, e somente se, N T - λ i I = N T - λ i I 2 , para i = 1 , … , k .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Temos na letra (a) para N ( T - λ i I ) , para i = 1 , … , k ficando,

p λ = N ( T - λ i I )

Na letra (b) para T diagonalizável se N T - λ i I = N T - λ i I 2 , temos

N T - λ i I = R 3 = w 3 → N T - λ i I = { ( - β , 2 β , α ) ( α , β ∈ R }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

{ ( - β , 2 β , α ) ( α , β ∈ R }

Exercícios de Livros Relacionados