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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.4 - Ex. 5

Seja T : V → V um operador tal que seu polinômio característico e da forma

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Com, λ 1 , … , λ k , distintos. Mostre que:

(a) T é diagonalizável se, e somente se, o auto espaço generalizado w i associado a λ i é igual ao ´ auto espaço N ( T - λ i I ) associado a λ i , para i = 1 , … , k .

(b) T e diagonalizável se, e somente se, N T - λ i I = N T - λ i I 2 , para i = 1 , … , k .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão do livro de álgebra linear do Reginaldo Santos T : V → V um operador tal que seu polinômio característico e da forma

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Com, λ 1 , … , λ k , distintos. Mostre que:

(a) T é diagonalizável se, e somente se, o auto espaço generalizado w i associado a λ i é igual ao ´ auto espaço N ( T - λ i I ) associado a λ i , para i = 1 , … , k .

(b) T e diagonalizável se, e somente se, N T - λ i I = N T - λ i I 2 , para i = 1 , … , k .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

p λ = - 1 n λ - λ - 1   n 1 … λ - λ k n k

Temos na letra (a) para N ( T - λ i I ) , para i = 1 , … , k ficando,

p λ = N ( T - λ i I )

Na letra (b) para T diagonalizável se N T - λ i I = N T - λ i I 2 , temos

N T - λ i I = R 3 = w 3 → N T - λ i I = { ( - β , 2 β , α ) ( α , β ∈ R }

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

{ ( - β , 2 β , α ) ( α , β ∈ R }

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Quais das seguintes matrizes estão na forma canônica de Jordan. a ) 2 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 - 1 b )2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 - 1
Determine, se possível, uma matriz P , tal que P - 1 A P = J esteja na forma canônica de Jordan. d ) 1 1 0 0 - 1 0 4 0 0 1 1 - 1 - 1 - 3 3 - 4 0 0 1 0 1 1 - 2 1 0 0 0 1 1 1 - 4 - 5 0 0 0 0 1 0 - 1 - 5
Determine, se possível, uma matriz P , tal que P - 1 A P = J esteja na forma canônica de Jordan. a ) 2 5 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 - 1
Seja T : V → V um operador tal que seu polinômio característico é da forma: p λ = - 1 n λ - λ 1 n 1 … λ - λ k n k , com λ 1 , … , λ k distintos. Seja w = L T - λ k m k . Mostre que:a) w é T-invariante
Seja λ 0 ⋯ 0 0 1 λ ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ 0 0 0 ⋯ 1 λ um bloco de Jordan mxm correspondente a λ . Seja N = J - λ I m . Mostre:a) N m = 0 , a transformação linear nula e para 1 ≤ km ,N k i j = 1s ei -