Sejam e . A partir das bases e construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Se estas novas bases forem e respectivamente, mostre que a matriz de mudança de base é ortogonal.
Passo 1
Vamos ortogonalizar a base :
Mas:
Logo:
Que resulta em: .
Passo 2
Vamos ortogonalizar a base :
Mas:
Logo:
Que resulta em:
Passo 3
Temos que construir a matriz de mudança de base. Queremos:
Que é a matriz de transição de para . Para construí-la, devemos expressar a base na base , veja:
Resolvendo, temos:
Logo:
Passo 4
A inversa dessa matriz é simples de ser obtida e é dada por:
E sua transposta:
Que são iguais. Do que segue que a matriz de mudança de base não é ortogonal.
Resposta
Demonstração.