Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 3
Sejam e . A partir das bases e construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Se estas novas bases forem e respectivamente, mostre que a matriz de mudança de base é ortogonal.
Passo 1
Vamos ortogonalizar a base :
Mas:
Logo:
Que resulta em: .
Passo 2
Vamos ortogonalizar a base :
Mas:
Logo:
Que resulta em:
Passo 3
Temos que construir a matriz de mudança de base. Queremos:
Que é a matriz de transição de para . Para construí-la, devemos expressar a base na base , veja:
Resolvendo, temos:
Logo:
Passo 4
A inversa dessa matriz é simples de ser obtida e é dada por:
E sua transposta:
Que são iguais. Do que segue que a matriz de mudança de base não é ortogonal.
Resposta
Demonstração.
Exercícios de Livros Relacionados
Mostre que uma transformação ortogonal do plano no plano deixa invariante a distância entre dois pontos, isto é, uev vetores quaisquer do plano, T u - T v = | | u - v | | (Sugestão: use o teorema 9.3.
Sejam V um espaço vetorial real de dimensão n , com produto interno , e T : V → V um operador linear auto-adjunto. Se α for uma base ortonormal de V , chamemos de A a matriz T α α . Consideremos a tra
Seja α = { w 1 , w 2 , w 3 } uma base de V , um espaço vetorial real com produto interno , . u α = 2 - 1 3ev α = 5 2 - 3 Se u , v = 2 , a base α é ortonormal?
Ache os valores para x e y tais que x y - 1 0 seja uma matriz ortogonal.